ノイズのある正弦波の確率分布

測定誤差がある場合、振動関数からサンプリングポイントの確率分布を分析的に計算しようとしています。「ノイズなし」の部分の確率分布はすでに計算していますが（最後に追加します）、「ノイズ」を含める方法がわかりません。

数値見積もり

より明確にするために、1つのサイクル中にランダムにポイントを選択する関数あるとします。ヒストグラムのポイントをビニングすると、分布に関連するものが得られます。$y(x) = \sin(x)$

ノイズなし

たとえば、これはと対応するヒストグラムです$sin(x)$

ノイズあり

これで、測定エラーが発生すると、ヒストグラムの形状が変化します（したがって、基になる分布だと思います）。例えば

分析計算

うまくいけば、私は2つの間にいくつかの違いがあると確信しました。ここで、私が「ノイズなし」の場合の計算方法を書き出します。

ノイズなし

$$y(x) = \sin(x)$$

次に、サンプリングする時間が均一に分布している場合、の確率分布は次の条件を満たす必要があります。$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

それから

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

など

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

これは、適切な正規化により、「ノイズなし」の場合に生成されるヒストグラムに適合します。

ノイズあり

だから私の質問は、分布にノイズを分析的に含めるにはどうすればよいですか？それは、分布を巧妙に組み合わせる、または定義にノイズを含めるようなものだと思いますが、私は前進するためのアイデアと方法が足りないので、ヒント/ヒント、または推奨される読書でさえも多くなります感謝。$y(x)$

それは、ノイズプロセスの構造によって異なります。

私があなたの状況を正しく理解していると仮定すると、ノイズが付加的で独立しており、同じように分布している場合は、ノイズ密度と密度の畳み込みを行うだけです。$Y$

場合サイクルにわたってランダムな一様である、上のノイズのないプロセス条件ある、縮重であり、平均と及び分散0の周辺分布、それらの縮重分布の均一な混合物であります; そのディストリビューションを正しく処理したようです。その密度をとしましょう。$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

たとえば、ノイズが場合、つまり場合、は、ノイズのない変数の均一な混合によるノイズの合計の密度です。$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

（このたたみ込みは数値的に行われました。この例では、その積分がどれほど扱いやすいかわかりません。私が試みなかったためです。）

P（x）の派生式は2倍ずれていると思います。均一に分布したサンプル時間は、区間-pi、piにわたって位相を均一に分布することと同等です。三角関数は、y間隔{-1,1}に確率を分散します。この間隔でのP（y）の積分は、上記の被積分関数を使用して得られた2ではなく、1でなければなりません。P（y）= 1 /（pi Sqrt（1-y ^ 2））だと思います