ベイジアンはコルモゴロフの公理を受け入れますか？

通常、確率論はコルゴモロフの公理で教えられます。ベイジアンもコルモゴロフの公理を受け入れますか？

probability bayesian kolmogorov-axioms

— 手書き
ソース

ベイズ理論は、確率の標準公理、したがってコルモゴロフ公理から得られます。

— 西安14年

@ Xi'an：主観的な信念の程度は確率で表すことができることはそれほど明白ではありません。

— Scortchi -復活モニカ

それは私が「客観的」ベイジアンだ理由だと事前分布は、確率論...の基準に従って定義で始まる

— 西安

Cox-Jaynesによる確率の解釈は、ベイジアン確率の厳密な基盤を提供すると考えています。（私の答えを参照）。しかし、それについて西安の意見があれば良いでしょう。

— サミット14

@サミット：ありがとうございますが、私はこの問題にあまり興味がありません...！

— 西安14

回答:

私の意見では、Cox-Jaynesの確率の解釈はベイズ確率の厳密な基礎を提供します。

コックス、リチャードT.「確率、頻度、合理的な期待。」アメリカ物理学会14.1（1946）：1-13。
ジェインズ、エドウィンT.確率論：科学の論理。2003年ケンブリッジ大学出版局。
ベック、ジェームズL.「確率論理に基づくベイジアンシステムの識別」。構造制御とヘルスモニタリング17.7（2010）：825-847。

Coxによって導出される確率論理の公理は次のとおりです。

（慣例により） $\Pr[b|a]\ge0$
（P2）：（否定関数） $\Pr[\overline{b}|a]=1-\Pr[b|a]$
（P3）：（接続機能） $\Pr[b\cap c|a]=\Pr[c|b\cap a]\Pr[b|a]$

公理P1〜P3は、次のことを暗示しています（Beck、James L.「確率論理に基づくベイジアンシステムの識別。」構造制御およびヘルスモニタリング17.7（2010）：825-847）：

（P4）：a）。B） ; c） $\Pr[b|b\cap c] = 1$ $\Pr[\overline{b}|b\cap c] = 0$ $\Pr[b|c]\in[0,1]$
（P5）：a）、B）、手段その $\Pr[a|c \cap (a \Rightarrow b)]\le\Pr[b|c\cap(a \Rightarrow b)]$ $\Pr[a|c\cap(a \Leftrightarrow b)] = \Pr[b|c\cap(a \Leftrightarrow b)]$ $a \Rightarrow b$ $a$ 含まれる、及びという意味に相当する。 $c$ $a \Leftrightarrow b$ $a$ $b$
（P6）： $\Pr[a \cup b|c] = \Pr[a|c]+\Pr[b|c]-\Pr[a\cap b|c]$
（P7）：命題が命題b 1、… 、b Nの1つだけが真であると述べていると仮定すると、
- a）周辺化定理： $\Pr[a|c]=\sum_{n=1}^N P[a \cap b_n|c]$
- b）総確率定理： $\Pr[a|c] = \sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]$
- c）ベイズの定理：： $k=1,\ldots,N$ $\Pr[b_k|a\cap c] = \frac{\Pr[a|b_k\cap c]\Pr[b_k|c]}{\sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]}$

それらは、コルモゴロフの論理の声明を暗示しており、これは特別なケースと見なすことができます。

ベイズの視点の私の解釈では、すべてが常に（暗黙的に）私たちの信念と知識に基づいています。

次の比較は、ベック（2010）から取られています。確率論理に基づくベイジアンシステムの識別

ベイジアンの視点

確率は、指定された情報に基づいたステートメントの妥当性の尺度です。

確率分布は、システムと現象に関する固有の特性ではなく、システムと現象に関するもっともらしい知識の状態を表します。
モデルの確率は、セット内の他のモデルに対する妥当性の尺度です。
自然の固有のランダム性によるものであるという主張なしに、情報の欠落による不確実性を実用的に定量化します。

周波数主義者の視点

確率は、長期的に本質的にランダムなイベントが発生する相対的な頻度です。

確率分布は、ランダム現象に固有の特性です。
限定された範囲。たとえば、モデルの確率に意味がない。
固有のランダム性が想定されますが、証明できません。

上記の公理からコルモゴロフの公理を導き出す方法

以下では、[Beck、James L.「確率論理に基づくベイジアンシステムの識別」のセクション2.2。構造制御とヘルスモニタリング17.7（2010）：825-847。

以下では、有限集合サブセットの確率測定を使用します。 $\Pr(A)$ $A$ $X$

[K1] $\Pr(A)\ge 0, \forall A \subset X$
[K2]： $\Pr(X) = 1$
[K3] 場合と互いに素です。 $\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B), \forall A,B \subset X$ $A$ $B$

propositonの導入確率論の公理、[ベック2010]から誘導される（K1-K3）に順に状態は、そのおよび指定確率モデル。[ベック2010]さらに、紹介。 $\pi$ $x\in X$ $x$ $\Pr(A) = \Pr[x\in A|\pi]$

P1は、とK1を意味しおよび $b=\{x\in A\}$ $c=\pi$
K2から、次 ; P4（）、および状態すなわち。 $\Pr[x\in X|\pi]=1$ $\pi$ $x\in X$
$A$ $B$ $x\in A$ $x\in B$ $\Pr(x\in A\cup B|\pi)=\Pr(x\in A|\pi)+\Pr(x\in B|\pi)$

— サミット
ソース

あなたのK3からはに得ることができる

Pr (\cup_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} Pr (A_{i})

Pr (\cup_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} Pr (A_{i})

Pr (\cup_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} Pr (A_{i})

Pr (\cup_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} Pr (A_{i})

$\Pr(\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n\Pr(A_i)$ （有限の加法性）コルモゴロフの第3公理ではなく、

Pr (\cup_{i = 1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} Pr (A_{i})

$\Pr(\cup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty\Pr(A_i)$ （可算加算性）が

A

$A$ の要素は

σ

$\sigma$ フィールド、および有限集合の単なるサブセットではありません。

— スコルチ-モニカの復職

@Scortchi K.R.Koch in his introduction to Bayesian Statistics cites Bernardo and Smith (1994), Bayesian Theory, p. 105, as a source that shows how to address countable infinity. I have not checked it, but as a reference it may as well be given here.

— gwr

確率論の開発後、「確率」の名前に答えるよりゆるい概念が、彼らがインスピレーションを与えた厳密に定義された概念まで測定されたことを示すことが必要でした。「主観的には」ベイズ確率はラムジーによりかつ独立に比較＆コヒーレンスの制約への信仰対象の程度の定量化は、（誰が作ることができない場合は自分の信念がコヒーレントであることが示されたFinetti、デ考えられていたオランダの書物あなたに対して）をしなければなりません確率である。

公理化の違いは、主に何が定義され、何が派生するかに関する好みの問題です。しかし、可算加算は、コルモゴロフの1つであり、コックスやフィネッティの派生物ではなく、物議をかもしている。一部のベイジアン（例えば、デ・フィネッティ＆サベージ）は有限の加法性で停止するため、コルモゴロフの公理のすべてを受け入れません。彼らは、不正なしに無限の間隔で均一な確率分布を置くことができます。また、Villegasに続き、単調な連続性を想定し、そこから数え切れないほどの相加性を得る人もいます。

ラムジー（1926）、「真実と確率」、ラムジー（1931）、数学の基礎およびその他の論理的エッセイ

デ・フィネッティ（1931）、「確率論的確率論」、数学の基礎、17、pp 298 – 329

Villegas（1964）、「定性的確率について $\sigma$ -環」、アン。数学。Statist。 、35、4。

— モニカの
ソース

Why should my answer only deal with 'objective Bayesian' probabilities? The seminal work of Cox (1946) explicitly addresses the issue of subjectivity! It is a very interesting - and easy to read paper. I do not think that it makes sense to distinguish between 'subjective' and 'objective' Bayesian probabilities: Everything is always implicitly conditioned to the person performing the analysis -> and in this regard 'subjective'.

— サミット14

concerning the derivation of the axioms stated Kolmogorov's from Cox's: I am satisfied by the way it is done in section 2.2 of Beck, James L. "Bayesian system identification based on probability logic." Structural Control and Health Monitoring 17.7 (2010): 825-847.

— Summit

@Summit：（1）そのとおりです。むしろ、Ramsey＆de Finettiの確率に関する気質観は、それらを「主観的な」陣営に真っ向から置き、Coxの方がより一般的に適用可能であるということです。（2）可算加法性は Coxの仮定から推定できると言っていますか？

— Scortchi-モニカの復職

私は答えを拡張し、あなたのコメントを楽しみにしています。

— サミット14

@Summit：ありがとう-私も私の半分を徹底する時間を見つけたいと思っています。コックスの定理と「完全な」コルモゴロフの公理からどこにたどり着くことができるかについてのギャップを指摘し、それは特に質問と密接な関係があると思います（最初に答えたときは完全に忘れていましたが）。ジェインズは、このBTWについておもしろいことを言っていました。

— スコルチ-モニカの復職