なぜ株価は対数正規であるが、株式リターンは正常であるのか

価格はプラスでなければならないが、リターンはマイナスになる可能性があるという事実を除き、株価を対数正規分布としてモデル化するが、株式リターンを正規分布としてモデル化する他の理由はありますか？

開始するいくつかのポイント：

i）これらの分布規則は、せいぜい近似にすぎません。それらは便利なモデルになりますが、実際の株価やリターンの分布と混同しないでください。

ii）通常、株価は上昇しています（ただし、いずれの場合も平均値は変化しています。平均値は安定していません）。したがって、株価の分布について話すとき、通常は限界分布ではなく、条件付き分布を指します。そのため、が変化する平均（特に、条件付き対数正規、以前の値と経過時間を条件とする）のようなものを意味する傾向があります。分散も変化する可能性があり、その場合、以前の値と時間の平均条件と分散条件の両方が変化します。たとえば、「株価はほぼ対数正規」とは、 t y t / y t − $y_t$$t$Y $y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$または同等に$y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

iii）小さな場合、注意してください。ログ（1 + X ）≈ $x$$\log(1+x)\approx x$

日次リターンなどの短期リターンの場合、一般的に、は非常に小さく、通常は0.01オーダーまたはそれ以下であることが多く、絶対値で。$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

その比率が小さい場合、$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

つまり、収益はほぼ対数株価の変化です（実際の株価で試してみて、それらがほぼ同一であることを確認してください）。

だから

$$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

含意する

$$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

それから

$$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$