「因子分析の基本定理」はPCAにどのように適用されますか、またはPCAの負荷はどのように定義されますか？

現在、「因子分析」用のスライドセットを調べています（私が知る限り、PCA）。

その中で、「因子分析の基本定理」が導き出され、分析に入るデータの相関行列（）は因子負荷の行列（）を使用して回復できると主張しています。 $\bf R$ $\bf A$

R = A A^{⊤}

$\bf R = AA^\top$

しかし、これは私を混乱させます。PCAでは、「因子負荷」の行列は、データの共分散/相関行列の固有ベクトルの行列で与えられます（データが標準化されていると仮定しているため、それらは同じです）。長さ1。この行列は直交しているため、一般にと等しくないです。 $\bf AA^\top = I$ $\bf R$

— user2249626
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@amoebaの答えに加えて、用語の曖昧さを加えた私の答えを見てください。A明確にするために、固有ベクトル行列（負荷）を呼び出すことはお勧めしません。（右側の）固有ベクトル行列は、通常ではなくV（R=USV'svdによって）ラベルが付けられAます。固有ベクトルのもう1つの同等の名前（バイプロットの用語に由来）は「標準座標」であり、負荷の場合は「主座標」です。

— ttnphns 14年

（「標準座標は」 -それらを持たせるときの固有値の慣性、又はスケールので、単位大きさである。「主座標」 -それは、それらを持たせる元のフル大きさがあるため）

— ttnphns

これは、用語のあいまいさと混乱から生じる合理的な質問（+1）です。

PCAのコンテキストでは、主軸（共分散/相関行列の固有ベクトル）を「負荷」と呼ぶことがよくあります。これはずさんな用語です。むしろPCAで「負荷」と呼ばれるべきものは、それぞれの固有値の平方根でスケーリングされた主軸です。次に、参照している定理が成り立ちます。

R = V S V^{⊤}

$\mathbf R = \mathbf V \mathbf S \mathbf V^\top$

V

$\mathbf V$

S

$\mathbf S$

A = V S^{1 / 2} 、

$\mathbf A = \mathbf V \mathbf S^{1/2},$

R = A A^{⊤} 。

$\mathbf R = \mathbf A \mathbf A^\top.$

r

$r$

r

$r$

R \approx A_{r} A_{r}^{⊤} 。

$\mathbf R \approx \mathbf A_r \mathbf A_r^\top.$

因子分析とPCA負荷を使用した共分散行列の再構築の詳細については、こちらの回答をご覧ください。

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