追加変数プロット（部分回帰プロット）は、重回帰で何を説明しますか？

Moviesデータセットのモデルがあり、回帰を使用しました。

model <- lm(imdbVotes ~ imdbRating + tomatoRating + tomatoUserReviews+ I(genre1 ** 3.0) +I(genre2 ** 2.0)+I(genre3 ** 1.0), data = movies)
res <- qplot(fitted(model), resid(model))
res+geom_hline(yintercept=0)

出力は次のとおりです。

今、私は最初にAdded Variable Plotと呼ばれるものを試しましたが、次の出力が得られました：

avPlots(model, id.n=2, id.cex=0.7)

問題は、Googleを使用して追加変数プロットを理解しようとしましたが、その深さを理解できませんでした。プロットを見て、出力に関連する各入力変数に基づいたスキューの表現の種類を理解しました。

データの正規化を正当化する方法など、もう少し詳細を取得できますか？

説明のために、予測変数とが相関する可能性のある、それほど複雑でない回帰モデルます。さんは斜面ましょうと我々は（私は）それを言うことができますので、両方の正であるにつれて増加場合、増加をあるため、定数を保持する正です。（ii）が一定に保たれている場合、は正であるため、が増加すると増加します。$Y = \beta_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \epsilon$$X_2$$X_3$$\beta_2$$\beta_3$$Y$$X_2$$X_3$$\beta_2$$Y$$X_3$$X_2$$\beta_3$

他の変数が一定に保たれたときに何が起こるかを考慮することにより、重回帰係数を解釈することが重要であることに注意してください（「セテリスパリバス」）。モデルで、に対してを回帰したと仮定します。斜面係数のための私の見積もりの効果測定、における1つの単位増加のせずに保持定数を、私の見積りと異なる場合があり重回帰から-も上の効果を測定することをのは、で1単位増加しますが、$Y$$X_2$$Y = \beta_1' + \beta_2' X_2 + \epsilon'$$\beta_2'$$Y$$X_2$ $X_3$$\beta_2$$Y$$X_2$ないホールド定数を。私の推定の問題は、とが相関している場合、省略された変数のバイアスに悩まされることです。$X_3$$\hat{\beta_2'}$$X_2$$X_3$

理由を理解するために、とが負の相関関係にあると想像してください。これで、を1単位増やすと、以降にの平均値が増えることが。しかし、が増加するにつれて、一定に保持しないと、は減少する傾向があり、平均値が減少する傾向があります。したがって、変動を許可すると、 1単位の増加の全体的な効果は低くなります。したがって、です。物事はより強く悪化し、$X_2$$X_3$$X_2$$Y$$\beta_2 > 0$$X_2$$X_3$$X_3$$\beta_3 > 0$$Y$$X_2$$X_3$$\beta_2' < \beta_2$$X_2$$X_3$は相関しており、からまでの効果が大きくなります-非常に深刻な場合、Ceteris paribus、がプラスの影響を与えることがわかっているにもかかわらず、見つけることさえあります！$X_3$$\beta_3$$\beta_2' < 0$$X_2$$Y$

に対してグラフを描くことが、モデル内のと関係を視覚化するのに不十分な方法になる理由を理解できたと思います。私の例では、回帰モデルからのを反映しない勾配の最適な線に目が引かれます。最悪の場合、モデルは、が増加するとが増加すると予測する場合があります（他の変数は一定に保たれます）が、グラフ上のポイントはが増加するとが減少することを示します。$Y$$X_2$$Y$$X_2$$\hat{\beta_2'}$$\hat{\beta_2}$$Y$$X_2$$Y$$X_2$

問題は、に対するの単純なグラフでは、他の変数が一定に保持されないことです。これは、追加変数プロット（偏回帰プロットとも呼ばれます）の利点に関する重要な洞察です。Frisch-Waugh-Lovellの定理を使用して、他の予測子の効果を「部分的に外します」。プロットの水平軸と垂直軸は、おそらく「他の予測子が考慮された後の」および「他の予測子が考慮された後の」として最も容易に理解されます* 。他のすべての予測変数が考慮されたら、 と関係を確認できます$Y$$X_2$$X_2$$Y$$Y$$X_2$ 。そのため、たとえば、各プロットに表示される勾配は、元の重回帰モデルの偏回帰係数を反映するようになりました。

特に、追加変数プロットの残差は元の重回帰の残差であるため、追加変数プロットの値の多くは回帰診断段階で発生します。これは、重回帰モデルではなく単純な回帰モデルのプロットを見たときと同様の方法で、外れ値と不均一分散を特定できることを意味します。影響力のあるポイントも確認できます。これは、他の変数を考慮する前の元のデータでは影響力のあるポイントが明確でないため、重回帰で役立ちます。私の例では、適度に大きい値はデータのテーブル内で見えないかもしれませんが、とにもかかわらず値も大きい場合$X_2$$X_3$$X_2$$X_3$負の相関がある場合、組み合わせはまれです。「他の予測変数の説明」、値は異常に大きく、追加された変数プロットでより顕著に突出します。$X_2$

$*$より技術的には、他の2つの重回帰の実行による残差です：以外のすべての予測変数に対する回帰からの残差は垂直軸に進み、他のすべての予測変数に対する回帰からの残差は水平軸にあります。これは、「他の人に与えられた」と「他の人に与えられた」という伝説があなたに言っていることです。これらの回帰の両方からの平均残差はゼロであるため、（が他の人に与えられた場合、$Y$$X_2$$X_2$$Y$$X_2$$X_2$$Y$他の人に与えられる）は（0、0）になり、追加変数プロットの回帰直線が常に原点を通過する理由を説明します。しかし、軸について言及することは、他の回帰からの残差にすぎず、人々を混乱させることがよくあります（おそらく、4つの異なる回帰について話しているので驚くことではありません！）。「他の人に与えられた」と「他の人に与えられた」として理解してください。$X_2$$Y$

プロットに見られる傾向について本当に言えることはありますか

確かに、それらの傾きは元のモデルからの回帰係数です（部分回帰係数、他のすべての予測変数は一定です）