短い時系列データのアップ/ダウンパターンの分析

私は時系列データをあまり頻繁に扱っていないので、この特定の質問をどのように進めるのが最善かについて、いくつかの指針を探しています。

次のデータがあるとしましょう-以下のグラフ：

ここでは、x軸に年があります。Y軸は「不平等」の尺度です。たとえば、国の所得の不平等かもしれません。

この質問について、私は年ごとにデータにアップ/ダウンの性質があるかどうかを尋ねることに興味があります（より良い説明が必要なため）。本質的には、昨年、不平等が前年度から上昇したのか、今は低下する可能性があるのか​​？浮き沈みの大きさも重要な要素です。

私はそのようなことを考えていますwavelet analysisかFourier analysis私は前にこれらを使用していないものの、5月の助けを、私はこのようなサンプルサイズが小さすぎると考えています。

フォローアップするためのアイデア/提案に興味があります。

編集：

これらはこのチャートのデータです：

#   year     value
#1  1956 0.9570912
#2  1957 1.0303563
#3  1958 0.9568302
#4  1959 1.1449074
#5  1960 0.8962963
#6  1961 1.0431552
#7  1962 0.8050077
#8  1963 0.8533181
#9  1964 0.9971713
#10 1965 1.0453083
#11 1966 0.8221328
#12 1967 1.0594876
#13 1968 1.1244195
#14 1969 1.0705498
#15 1970 0.8669457
#16 1971 0.8757319
#17 1972 1.0815189
#18 1973 1.1458959
#19 1974 1.2782848
#20 1975 1.0729718
#21 1976 1.1569416
#22 1977 1.2063673
#23 1978 1.1509700
#24 1979 1.1172020
#25 1980 1.0691429
#26 1981 1.0907407
#27 1982 1.1753854
#28 1983 0.9440187
#29 1984 1.1214175
#30 1985 1.2777778
#31 1986 1.2141739
#32 1987 0.9481722
#33 1988 1.1484652
#34 1989 0.7968458
#35 1990 1.1721074
#36 1991 1.1569523
#37 1992 0.8160300
#38 1993 0.9483291
#39 1994 1.0898612
#40 1995 0.8196819
#41 1996 1.0297017
#42 1997 1.0207769
#43 1998 0.9720285
#44 1999 0.8685848
#45 2000 0.9228595
#46 2001 0.9171540
#47 2002 1.0470085
#48 2003 0.9313437
#49 2004 1.0943982
#50 2005 1.0248419
#51 2006 0.9392917
#52 2007 0.9666248
#53 2008 1.1243693
#54 2009 0.8829184
#55 2010 0.9619517
#56 2011 1.0030864
#57 2012 1.1576998
#58 2013 0.9944945

ここにそれらはRフォーマットにあります：

structure(list(year = structure(1:58, .Label = c("1956", "1957", 
"1958", "1959", "1960", "1961", "1962", "1963", "1964", "1965", 
"1966", "1967", "1968", "1969", "1970", "1971", "1972", "1973", 
"1974", "1975", "1976", "1977", "1978", "1979", "1980", "1981", 
"1982", "1983", "1984", "1985", "1986", "1987", "1988", "1989", 
"1990", "1991", "1992", "1993", "1994", "1995", "1996", "1997", 
"1998", "1999", "2000", "2001", "2002", "2003", "2004", "2005", 
"2006", "2007", "2008", "2009", "2010", "2011", "2012", "2013"
), class = "factor"), value = c(0.957091237579043, 1.03035630567276, 
0.956830206830207, 1.14490740740741, 0.896296296296296, 1.04315524964493, 
0.805007684426229, 0.853318117977528, 0.997171336206897, 1.04530832219251, 
0.822132760780104, 1.05948756976154, 1.1244195265602, 1.07054981337927, 
0.866945712836124, 0.875731948296804, 1.081518931763, 1.1458958958959, 
1.27828479729065, 1.07297178130511, 1.15694159981794, 1.20636732623034, 
1.15097001763668, 1.11720201026986, 1.06914289768696, 1.09074074074074, 
1.17538544689082, 0.944018731375053, 1.12141754850088, 1.27777777777778, 
1.21417390277039, 0.948172198172198, 1.14846524606799, 0.796845829569407, 
1.17210737869653, 1.15695226716732, 0.816029959161985, 0.94832907620264, 
1.08986124767836, 0.819681861348528, 1.02970169141241, 1.02077687443541, 
0.972028455959697, 0.868584838281808, 0.922859547859548, 0.917153996101365, 
1.04700854700855, 0.931343718539713, 1.09439821062628, 1.02484191508582, 
0.939291692822766, 0.966624816907303, 1.12436929683306, 0.882918437563246, 
0.961951667980037, 1.00308641975309, 1.15769980506823, 0.994494494494494
)), row.names = c(NA, -58L), class = "data.frame", .Names = c("year", 
"value"))

系列が無相関の場合、不必要に差分を取ると自己相関が注入されます。シリーズが自己相関であっても、不当な差異は不適切です。単純なアイデアと単純なアプローチには、多くの場合、望ましくない副作用があります。モデル識別プロセス（ARIMA）は元のシリーズから始まり、差異が生じる可能性がありますが、理論的根拠がない限り、不当な差異から始めることはできません。ご希望の場合は、短期間のシリーズを投稿していただければ、このシリーズのモデルを特定する方法を説明します。

データの受信後：

データのACFは、最初（または最後）にARIMAプロセスを示していません。ここでは、ACFとPACFの両方と

、ここではACFのみです。
ただし、データには2つのレベルシフトがあるようです... 1つは1972 でもう1つは1992です。それらはレベルシフトをほぼキャンセルしているようです。有用なモデルには、1989年、1959年、および1983年の期間における3つの異常な値の組み込みが含まれる場合も
あります。

モデルの統計はここにあります。ここに

、実際/適合と予測があり、ここに残差プロットがあり、モデルの十分性を示しています。これは、残差のacfによって確認されます。最後に、適合と予測で結果を要約します。
要約すると、系列（おそらく比率）には重要な自己回帰メモリがありませんが、明らかな決定論的構造（統計的に有意）があります。すべてのモデルが間違っていますが、一部は便利です（GEPボックス）。

1モデルの違いによるものであった場合は、いくつかの議論の後...そして一つは...次のモデルになるだろう実績/のFITとFORECASTで。予測は不気味に似ています... MA係数は、差分演算子を効果的にキャンセルします。

$x_1,x_2,x_3,...,x_n \in f(x)$$f(x)$$y_t$$y_t=1:x_t<x_{t+1}$$y_t=0:x_t\ge x_{t+1}$

$x_t$

$y_t$$\sigma=1.108$$\sigma_{15}=\sigma/\sqrt{15}=0.29$$1.2\sigma_n$

更新：サイクル

OPの質問のグラフは、ある種の長い実行サイクルがあることを示唆しているようです。これにはいくつかの問題があります。

1. ランダムなシーケンスを生成すると、サイクルのようなものがランダムに表示されることがあります。したがって、純粋に観測データである58のデータポイントでは、何らかの背後にある経済理論がないとサイクルを宣言することは不可能です。経済的な理由がなければ、だれもそれを真剣に受け止めることはできません。そのためには確実に外生変数が必要です、私は恐れています。
2. この素晴らしいペーパーをチェックしてください：循環プロセスのソースとしてのランダムな原因の合計、オイゲン・スラッツキー、エコノメトリック、Vol。5、No。2（1937年4月）、105-146ページ。基本的に、サイクルは何らかのMAプロセスによって引き起こされることがあります。
3. これは幻想かもしれません。私はプレゼンテーションでこのトリックをよく使用します。実際のデータを表示してから、線、円、または矢印を描いて、聴衆の脳を混乱させます:)追加の線は、脳をだましてまったく存在しない可能性がある傾向を確認したり、実際よりもはるかに強く見えるようにします。

補足1：データに長い周期的な傾向が見られることが1つあります。これは、前年比の分析にそれほど影響を与えることはありません*-したがって、この非常に基本的な分析では、それを無視して、関心のある効果を除いて、データが均質であるかのように扱います。

*（反対方向の動きの数は、均質性で期待するものから減少する傾向があります-したがって、このテストの能力が多少低下する傾向があります。その影響を定量化することはできますが、私は思いません違いを生み出すのに十分な大きさである可能性が高い場合を除き、強いニーズがあります。それがすでに重要である場合、p値を少し小さくするようなものに調整することは、労力の無駄になります。）

余談2：述べたように、あなたの質問は片側の選択肢を含んでいるようです。これがあなたの望んでいることを基に私は働きます。

基本的な質問に直接向けられた簡単な分析から始めましょう。これは、「増加の後に減少が続く可能性が高いですか？」という線に沿っているようです。

ただし、最初に表示されるほど単純ではありません。純粋にランダムなデータを持つ安定したシリーズでは、増加の後に減少が続く可能性が高くなります。私たちが検討している仮説には3つの観測が含まれていることに注意してください。

これらの6つの方法のうち、4つは方向の変更を伴います。したがって、純粋にランダムなシリーズ（分布に関係なく）では、時間の2/3の方向の反転が見られます。

[これはランアップテストとダウンテストに密接に関連しており、ランテストが多すぎてランダムにできないかどうかに関心があります。代わりにそのテストを使用できます。]

あなたが実際に興味を持っているのは、ランダムな2/3よりも高いかどうかではなく、1/2よりも大きいかどうかです。

$H_0:$

$H_1:$

検定統計量：シフトとそれに続く反対方向のシフトの比率。

トリプルが重複しているので、トリプル間にある程度の依存関係があると思います。これを二項として扱うことはできません（データを重複しないトリプルに分割すると、うまくいくでしょう）。

この依存関係を念頭に置いて、検定統計量の分布を計算することもできますが、この場合は必要ありません。方向反転トリプルの観測された比率は、ランダム系列の予想される数2/3のすぐ下にあるためです。 、そして私たちはそれ以上の逆転にのみ興味があります。

そのため、これ以上計算する必要はありません。ランダムな系列で得られるよりも、反転（上昇または下降）する傾向の証拠はまったくありません。

[無視された穏やかなサイクルが、これが実質的な違いを生むのに十分なほど近くに予想される比率を下げるのに十分な影響を与えることは本当に疑わしい。]

データの中断やレベルシフトをチェックする構造変更と呼ばれるパッケージを使用できます。非季節性の時系列のレベルシフトを自動的に検出することにある程度成功しました。

あなたの「価値」を時系列データに変換しました。次のコードを使用して、レベルシフトまたは変更点またはブレークポイントをチェックしました。このパッケージには、構造破壊をテストするためのチョウテストを実行するチョウテストなどの優れた機能もあります。

require(strucchange)
value.ts <- ts(data[,2],frequency = 1, start = (1956))
bp.value <- breakpoints(value.ts ~ 1)
summary(bp.value)

以下は、breakpont関数からの要約です。

Breakpoints at observation number:

m = 1           36      
m = 2     16    31      
m = 3     16    36    46
m = 4     16 24 36    46
m = 5   8 16 24 36    46
m = 6   8 16 24 33 41 49

Corresponding to breakdates:

m = 1                  1991          
m = 2        1971      1986          
m = 3        1971      1991      2001
m = 4        1971 1979 1991      2001
m = 5   1963 1971 1979 1991      2001
m = 6   1963 1971 1979 1988 1996 2004

Fit:

m   0           1           2           3           4           5           6          
RSS   0.8599316   0.7865981   0.5843395   0.5742085   0.5578739   0.5559645   0.5772778
BIC -71.5402819 -68.5892480 -77.7080112 -70.6015129 -64.1544916 -56.2324540 -45.9296608

関数を見るとわかるように、BIC基準に基づいて以下のプロットに示すように、データで考えられるブレークを識別し、1971年と1986年に2つの構造的ブレークを選択しました。上記の出力にリストされているように、関数は他の代替ブレークポイントも提供しました。

これが役に立てば幸い