固有ベクトルの視覚的な説明について混乱：視覚的に異なるデータセットが同じ固有ベクトルを持つことができるのはなぜですか？

多くの統計教科書は、共分散行列の固有ベクトルが何であるかを直感的に説明しています。

ベクトルuとzは固有ベクトル（まあ、固有軸）を形成します。意味あり。しかし、混乱するのは、生データではなく相関行列から固有ベクトルを抽出することです。さらに、まったく異なる生データセットは、同一の相関行列を持つことができます。たとえば、次の両方には次の相関行列があります。

そのため、同じ方向を指す固有ベクトルがあります。

しかし、固有ベクトルが生データのどの方向であるかについて同じ視覚的解釈を適用すると、異なる方向を指すベクトルが得られます。

誰かが私がどこが間違っているのか教えてもらえますか？

二番目の編集：私が大胆であるかもしれないなら、以下の優れた答えで私は混乱を理解し、それを説明することができました。

1. 視覚的説明は、共分散行列から抽出された固有ベクトルが異なるという事実と一致しています。

   共分散と固有ベクトル（赤）：

   $$\left[\begin{array}{} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{} .7 & -.72 \\ .72 & .7\end{array}\right]$$

   共分散と固有ベクトル（青）：

   $$\left[\begin{array}{} .25 & .5 \\ .5 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{} .43 & -.9 \\ .9 & .43\end{array}\right]$$

2. 相関行列は、標準化された変数の共分散行列を反映しています。標準化された変数の目視検査は、私の例で同一の固有ベクトルが抽出される理由を示しています。

相関行列に対してPCAを実行する必要はありません。共分散行列も分解できます。これらは通常、異なるソリューションを生成することに注意してください。（これについて詳しくは、相関または共分散のPCAを参照してください。）

${\rm Cov}_{xy} / {\rm SD}_x{\rm SD}_y$

この場合も、共分散行列を使用してこれらのグループでPCAを実行すると、相関行列を使用した場合とは異なる結果が得られます。