ノイズの多い観測から真の平均を決定する

フォーム（平均、標準偏差）のデータポイントの大規模なセットがあります。これを単一の（より良い）平均に、そして（できれば）より小さな標準偏差に減らしたいと思います。

明らかに、単に計算できましたが、データポイントのいくつかが他のものよりもはるかに正確であるという事実を考慮に入れていません。$\frac{\sum data_{mean}}{N}$

簡単に言えば、これらのデータポイントの加重平均を作成したいのですが、標準偏差に関して加重関数がどうあるべきかはわかりません。

フォームの平均の線形推定量を求めます$\mu$

$$\hat{\mu} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i$$

ここで、は重みで、は観測値です。目的は、重みの適切な値を見つけることです。してみましょうことが真の標準偏差と一致しない場合がありますまたは、推定あなたはおそらく持っている標準偏差。観測値に偏りがないと仮定します。つまり、それらの期待値はすべて平均等しくなります。これらの用語では、期待値を計算できます$\alpha_i$$x_i$$\sigma_i$$x_i$$\mu$$\hat{\mu}$

$$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \mathbb{E}[x_i] = \mu \sum_{i=1}^{n} \alpha_i$$

$x_i$

$$\operatorname{Var}\left[\hat{\mu}\right] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i^2 \sigma_i^2.$$

$\alpha_i$$1/\sigma_i^2$

$$\hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i / \sigma_i^2}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2}$$

そして

$$\operatorname{Var}\left[\hat\mu\right] = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2} = \frac{1}{n} \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}\right)^{-1}.$$

言葉で、

$1/n$

$\sigma_i$