同定から推定まで

私は現在、因果関係についてパールの作品（Pearl、2009、第2版）を読んでおり、モデルのノンパラメトリックな同定と実際の推定との間のリンクを確立するのに苦労しています。残念ながら、パール自身はこのトピックについて非常に沈黙しています。

例として、因果パスと、すべての変数w → x、w → zおよびw → yに影響を与える交絡因子を持つ単純なモデルを念頭に置いています。さらに、xとyは観測されていない影響x ← → yによって関連付けられます。do計算の規則により、介入後（離散）の確率分布が次の式で与えられることがわかりました。$x \rightarrow z \rightarrow y$$w \rightarrow x$$w \rightarrow z$$w \rightarrow y$$x$$y$$x \leftarrow \rightarrow y$

（ノンパラメトリックに、またはパラメトリックな仮定を導入することによって）この量をどのように推定できるのか不思議に思っています。特に、が複数の交絡変数のセットであり、対象となる量が連続している場合は特にそうです。データの合同介入前分布を推定することは、この場合非常に非現実的であるように見えます。誰かがこれらの問題に対処するパールの方法の応用を知っていますか？ポインタをいただければ幸いです。 $w$

これは非常に良い質問です。まず、数式が正しいかどうかを確認しましょう。入力した情報は、次の因果モデルに対応しています。

$P(Y|do(X))$causaleffectigraph

library(igraph)
g <- graph.formula(X-+Y, Y-+X, X-+Z-+Y, W-+X, W-+Z, W-+Y, simplify = FALSE)
g <- set.edge.attribute(graph = g, name = "description", index = 1:2, value = "U")

X-+Y, Y-+X$X$$Y$

次に、見積もりを求めます。

library(causaleffect)
cat(causal.effect("Y", "X", G = g, primes = TRUE, simp = T, expr = TRUE))

これは実際にあなたの式と一致します---交絡因子が観察されたフロントドアの場合。

$X \rightarrow Z \rightarrow Y$

いくつかのデータをシミュレートしましょう：

set.seed(1)
n <- 1e3
u <- rnorm(n) # y -> x unobserved confounder
w <- rnorm(n)
x <- w + u + rnorm(n)
z <- 3*x + 5*w + rnorm(n)
y <- 7*z + 11*w + 13*u + rnorm(n)

$X$$Y$$Y \sim Z+W+X$$Z$$Y$$Z \sim X + W$$X$$Z$

yz_model <- lm(y ~ z + w + x)
zx_model <- lm(z ~ x + w)

yz <- coef(yz_model)[2]
zx <- coef(zx_model)[2]
effect <- zx*yz
effect
       x 
21.37626 

そして推論のために、製品の（漸近）標準誤差を計算するかもしれません：

se_yz <- coef(summary(yz_model))[2, 2]
se_zx <- coef(summary(zx_model))[2, 2]
se <- sqrt(yz^2*se_zx^2 + zx^2*se_yz^2)

テストまたは信頼区間に使用できるもの：

c(effect - 1.96*se, effect + 1.96*se) # 95% CI
       x        x 
19.66441 23.08811 

（非/セミ）パラメトリック推定を実行することもできます。他の手順を含めて、この回答を後で更新します。