スロープパラメータの推定の期待値と分散は、

Devoreの "Probability and Statistics"というテキストを読んでいます。推定の期待値と分散：私は、ページ740の2つの項目で探しています $\beta_1$ 線形回帰で、スロープパラメータである $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$ 。 $\epsilon_i$ ガウス分布である（ $\mu = 0, variance=\sigma^2$ ）確率変数と $\epsilon_i$ 独立しています。

推定値 $\beta_1$ ：のように表すことができる $\hat{\beta_1} = \frac{\sum (x_i - \bar{x}) (Y_i - \bar{Y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})Y_i}{S_{xx}}$ であり、ここで $S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2$ 。だから、私の質問は：どのように私は、派生ん $E(\hat{\beta_1})$ と $Var(\hat{\beta_1})$ ？本は既に結果を与えた： $E(\hat{\beta_1}) = \beta_1$ および $Var(\hat{\beta_1}) = \frac{\sigma^2}{S_xx}$ 。

派生での私の仕事： $E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})Y_i}{S_{xx}}\right) = E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})(\beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon)}{S_{xx}}\right) = E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\beta_1 x_i}{S_{xx}}\right)$ 、以降 $\sum(x_i - \bar{x})c = 0$ 及び $E(c\epsilon) = 0$ 。しかし、行き詰まっています。

また、 $Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})Y_i}{S_{xx}}\right) = Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})(\beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon)}{S_{xx}}\right) = Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}}\right) = Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})}{S_{xx}}\right) \sigma^2$ 、私はこだわっています。

regression self-study linear

— jrand
ソース

ユーザーwhuberの回答では2011年6月22日に私のコメントは、添字含めるべきである

で

のを、と誤差項があるという事実を利用すべき

独立しています。

i

$i$

ϵ

$\epsilon$

ϵ_{i}

$\epsilon_i$

— jrand

V a r (\hat{β_{1}}) = V a r (\sum \frac{(x_{i} - \bar{x}) y_{i}}{S_{x x}}) = V a r (\sum \frac{(x_{i} - \bar{x}) ϵ_{i}}{S_{x x}}) = V a r (\frac{(x_{1} - \bar{x}) ϵ_{1}}{S_{x x}} + \frac{(x_{2} - \bar{x}) ϵ_{2}}{S_{x x}} + \dots + \frac{(x_{n} - \bar{x}) ϵ_{n}}{S_{x x}}) = \frac{(x_{1} - \bar{x})^{2} σ^{2}}{(S_{x x})^{2}} + \frac{(x_{2} - \bar{x})^{2} σ^{2}}{(S_{x x})^{2}} + \dots + \frac{(x_{n} - \bar{x})^{2} σ^{2}}{(S_{x x})^{2}} = σ^{2} [\sum \frac{(x_{i} - \bar{x})^{2}}{(S_{x x})^{2}}] = \frac{σ^{2}}{S_{x x}}

$\mathrm{Var}(\hat{\beta_1}) = \mathrm{Var}\left(\sum\frac{(x_i - \bar{x})y_i}{S_{xx}}\right) = \mathrm{Var}\left(\sum{\frac{(x_i-\bar{x})\epsilon_i}{S_{xx}}}\right) = \mathrm{Var}\left(\frac{(x_1 - \bar{x})\epsilon_1}{S_{xx}} + \frac{(x_2 - \bar{x})\epsilon_2}{S_{xx}} + \ldots + \frac{(x_n - \bar{x})\epsilon_n}{S_{xx}}\right) = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 \sigma^2}{(S_{xx})^2} + \frac{(x_2 - \bar{x})^2 \sigma^2}{(S_{xx})^2} + \ldots + \frac{(x_n - \bar{x})^2 \sigma^2}{(S_{xx})^2} = \sigma^2 \left[\sum{\frac{(x_i-\bar{x})^2}{(S_{xx})^2}}\right] = \frac{\sigma^2}{S_{xx}}$

— jrand

標準の「答え」は過小評価であり、S_ {xx}の分散を無視します。

— –climbert8

質問されている状況では、

は条件付けされているため、ランダムではなく固定として扱われます

X

$X$

— Glen_b -Reinstate Monica

$E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\beta_1 x_i}{S_{xx}}\right)$ $\frac{\sum (x_i - \bar{x})\beta_1 x_i}{S_{xx}}$ $\sum (x_i - \bar{x}) x_i = S_{xx}$ $S_{xx}$ $\sum(x_i - \bar{x}) \bar{x} = 0$ $\bar{x}$
$Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}}\right)$ $\sum \left[\frac{(x_i - \bar{x})^2}{S_{xx}^2}\sigma^2\right]$ $S_{xx}$

— whuber
ソース

V a r (\frac{\sum (x_{i} - \bar{x}) ϵ}{S_{x x}}) = V a r (\frac{(x_{1} - \bar{x}) ϵ + (x_{2} - \bar{x}) ϵ + \dots + (x_{n} - \bar{x}) ϵ}{S_{x x}}) = (\frac{\sum_{i}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{S_{x x}^{2}}) \times σ^{2} = \frac{S_{x x}}{S_{x x}^{2}} \times σ^{2} = \frac{σ^{2}}{S_{x x}}

$Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}}\right) = Var\left( \frac{(x_1 - \bar{x})\epsilon + (x_2 - \bar{x})\epsilon + \ldots + (x_n - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}} \right) = \left( \frac{ \sum_i^{n} (x_i - \bar{x})^2} {S_{xx}^2} \right) \times \sigma^2 = \frac{S_{xx}}{S_{xx}^2} \times \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{S_{xx}}$

ε

$\varepsilon$

λ

$\lambda$

V a r (λ ε)

$Var(\lambda \varepsilon)$

λ^{2} V a r (ε)

$\lambda^2 Var(\varepsilon)$

\sum_{i}^{n} (x_{i})^{2} = {(\sum_{i}^{n} x_{i})}^{2}

$\sum_i^n (x_i)^2 = \left( \sum_i^n x_i \right)^2$

@jrand正解です。返信に誤植があります。指摘いただきありがとうございます。エラーを修正し、ロジックをより明確にするために再フォーマットしました。

— whuber