なぜ分散のサンプリング分布はカイ二乗分布なのですか？

声明

サンプル分散のサンプリング分布は、自由度が等しいカイ二乗分布です。ここで、はサンプルサイズです（対象のランダム変数が正規分布している場合）。$n-1$$n$

ソース

私の直感

1）カイ2乗検定は2乗和のように見えるため、2）カイ2乗分布は2乗正規分布の和にすぎないため、直感的に理解できます。それでも、私はそれをよく理解していません。

質問

ステートメントは本当ですか？どうして？

[私はその場合は事実として受け入れているあなたがいる幸せあなたの質問での議論からと仮定します独立している同一分布N （0 、1 ）ランダムな変数Σ k個のI = 1 Z 2 I〜χ 2 K ]$Z_i, i=1,2,\ldots,k$$N(0,1)$$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

正式には、必要な結果はコクランの定理から得られます。（他の方法でも表示できますが）

あまり形式的ではありませんが、母平均を知っていて、（サンプル平均ではなく）それについて分散を推定した場合、s 2 0 = 1と考えてください。、次いで、sは 2 0 /σ2=$s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$（ZI=（XI-μ）/σされる）$s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$回のχ 2 n個の確率変数。$\frac{1}{n}$$\chi^2_n$

代わり母集団のサンプル平均値が使用されているという事実は、平均（）が小さい偏差の二乗の和を作り、それだけようにΣ N iは= 1（Z ∗ i）$Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$（、どのコクランの定理を参照してください）。したがって、よりもむしろ N S 2 0 / σ 2〜χ 2 N我々は今持っている（N - 1 ）S 2 / σ 2〜χ 2 N - 1。$\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$$ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$