多変量直交多項式回帰？

質問の動機付けの手段として、観測変数を使用してを推定しようとする登録問題を考えます$Y$$\{ a, b \}$

多変量多項式回帰を行うとき、関数の最適なパラミタイゼーションを見つけようとします

最小二乗の意味でデータに最適です。

ただし、これの問題は、パラメーターが独立していないことです。直交する「基底」ベクトルの異なるセットで回帰を行う方法はありますか？これを行うことには多くの明らかな利点があります$c_i$

1）係数は相関しなくなりました。2）の値自体は、係数の次数に依存しなくなりました。3）これには、より高次の項を削除して、データの粗いまだ正確な近似を計算できるという計算上の利点もあります。$c_i$

これは、チェビシェフ多項式などのよく研究されたセットを使用して、直交多項式を使用する単一変数の場合に簡単に実現できます。ただし、これを一般化する方法は（とにかく私には）明らかではありません。ペアで複数のチェビシェフ多項式を組み合わせることができると思いましたが、それが数学的に正しいことかどうかはわかりません。

あなたの助けに感謝します

完了のために（そしてこのサイトの統計を改善するのに役立つために）、このペーパーでもあなたの質問に答えられないのではないかと思います。

概要： 導関数情報を出力する機能を備えた複雑なシミュレーションモデルによる不確実性伝播の近似のための多項式基底の選択について説明します。私たちの仕事は、派生情報で補強されたサンプリング手法を使用した不確実性の定量化におけるより大きな研究努力の一部です。このアプローチには、標準の多項式回帰と比較して新しい課題があります。特に、任意次数のテンソル積多変量直交多項式基底が構築されない可能性があることを示します。このタイプの正規直交セットが存在するための十分な条件、それがまたがる空間の基礎を提供します。原子炉炉心における熱輸送の簡略化されたモデルを通じて、材料の不確実性の伝播における基礎の利点を示します。テンソル積のエルミート多項式基底と比較すると、

それ以外の場合、1次元多項式のテンソル積基底は適切な手法であるだけでなく、これについて見つけることができる唯一の手法でもあります。