私は、円の任意の部分に欠陥がある可能性が同じになるように、円内のランダムなポイントの注入をシミュレートしようとしました。円を等面積の長方形に分割すると、結果の分布の面積あたりのカウントがポアソン分布に従うと予想しました。

円形領域内にポイントを配置するだけなので、極座標で2つの均一なランダム分布を注入しました：（半径）と（極角）。$R$$\theta$

しかし、この注入を行った後、私は明らかに、エッジと比較して円の中心により多くのポイントを取得します。

ポイントがサークル全体にランダムに分散されるように、円全体にこの注入を実行する正しい方法は何でしょうか？

点の割合は、原点までの距離ではなく、面積に均一に比例する必要があります。面積は平方距離に比例するため、均一なランダム半径を生成し、平方根を取ります。 それを均一な極角と組み合わせます。

これはコーディングが迅速かつ簡単で、実行が効率的で（特に並列プラットフォームで）、指定された数のポイントを正確に生成します。

例

これはR、アルゴリズムを説明するための作業コードです。

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

拒否サンプリングを使用できます。これは、2D均一分布からサンプリングし、ディスク条件を満たすサンプルを選択できることを意味します。

以下に例を示します。

x=runif(1e4,-1,1)
y=runif(1e4,-1,1)

d=data.frame(x=x,y=y)
disc_sample=d[d$x^2+d$y^2<1,]
plot(disc_sample)

もちろん、2次元の場合にも有効な一般的なn次元の答えを示します。3次元では、ディスクの類似物は固体ボール（球）のボリュームです。

これから説明する2つのアプローチがあります。そのうちの1つを「正確」と呼び、Rで完全なソリューションを取得します。2つ目はヒューリスティックと呼びますが、これは単なるアイデアであり、完全なソリューションは提供されません。

「正確な」ソリューション

私の解決策はマルサリアとミュラーの作品に基づいています。基本的には、ノルムに正規化されたガウスベクトルがd次元超球面上の均一に分布した点を与えるように発生します。

$d$$1/d$

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
# d - # of dimensions of hyperdisk
d = 2
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)
plot(x[,1], x[,2], pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

以下は、3Dケースのコードスニペット、つまりソリッドボールです。

library(scatterplot3d)
n <- 1e3
# d - # of dimensions of hyperdisk

d=3
rho <- (runif(n))^(1/d)
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)

scatterplot3d(x[,1], x[,2], x[,3])

発見的アプローチ

$\sum_{i=1}^d x_i^2<R^2$

私が提案する解決策は、中心付近のポイントをオーバーサンプリングして除去サンプリングを使用することです。ランダムな均一サンプルのデカルト座標の1つをボールの内側から見ている場合、その分布は分散ガウスに収束することがわかります。$\frac 1 {\sqrt{d+2}}$

以下に代替ソリューションを示しRます。

n <- 1e4
## r <- seq(0, 1, by=1/1000)
r <- runif(n)
rho <- sample(r, size=n, replace=T, prob=r)
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")