非線形モデルと一般化線形モデル：ロジスティック、ポアソンなどの回帰をどのように参照しますか？

統計学者の意見を聞きたいセマンティクスについて質問があります。

ロジスティック、ポアソンなどのモデルは、一般化線形モデルの傘下にあることがわかっています。モデルにはパラメーターの非線形関数が含まれており、適切なリンク関数を使用して線形モデルフレームワークを使用してモデル化することができます。

ロジスティック回帰などの状況を次のように考えて（教えますか？）

1. パラメーターの形式が与えられた非線形モデル
2. リンクが私たちを線形モデルフレームワークに変換するため、線形モデル
3. 同時に（1）と（2）：非線形モデルとして「開始」されますが、線形モデルと考えることができるような方法で動作する可能性があります

私は実際の世論調査を設定することができます...

これは素晴らしい質問です。

ロジスティック、ポアソンなどのモデルは、一般化線形モデルの傘下にあることがわかっています。

はい、そうです。質問のコンテキストを考えると、何を話しているのかを明確に指定する必要があります。また、「ロジスティック」と「ポアソン」だけでは、意図を説明するには不十分です。

（i）「ポアソン」は分布です。条件付き分布の説明として、条件付き平均を記述するために線形（パラメーター）モデルを指定しない限り、線形ではありません（したがってGLMではありません）（つまり、単に「ポアソン」と言うだけでは不十分です）。「ポアソン回帰」を指定する場合、ほとんどの場合、パラメーターが線形であり、したがってGLMであるモデルを対象としています。しかし、「ポアソン」だけでも何でも構いません*。

（ii）一方、「ロジスティック」とは、平均の説明を意味します（平均は予測変数でロジスティックである）。指数関数ファミリーにある条件付き分布と組み合わせない限り、GLMではありません。一方、人々が「ロジスティック回帰」と言うとき、彼らはほとんど常にロジットリンクを持つ二項モデルを意味します-それは予測子でロジスティックであることを意味し、モデルはパラメーターが線形であり、GLMもそうです。

モデルには、パラメーターの非線形関数が含まれます。

さて、再び、はい、いいえ。

$\eta=g(\mu)$$\eta=X\beta$

これは、適切なリンク関数を使用して、線形モデルフレームワークを使用してモデル化できます。

正しい

ロジスティック回帰などの状況を次のように考えて（教えますか？）

（ここで質問の順序を変更しています）

リンクが私たちを線形モデルフレームワークに変換するため、線形モデル

まさにこの理由で、GLMを「線形」と呼ぶのが慣例です。確かに、これが慣例であることはかなり明らかです。なぜなら、それは名前の中にあるからです。

パラメーターの形式が与えられた非線形モデル

「非線形」とは一般に、パラメータが非線形のモデルを指すため、ここでは非常に注意する必要があります。一般化線形モデルとの非線形回帰のコントラスト。

したがって、GLMを説明するために「非線形」という用語を使用する場合は、意味を慎重に指定することが重要です。一般に、平均は予測変数に非線形に関連しているということです。

確かに、GLMを参照するために「非線形」を使用すると、慣例だけでなく（したがって誤解される可能性が高い）、一般化された非線形モデルについて話すときにも困難になります。GLMをすでに「非線形モデル」として特徴付けている場合、区別を説明するのは少し難しいです！

$g(\mu)$

$x$$Y$$x$$\mu_x$$x$

$x$$\alpha$

ここで、最初の項は、（たとえば）事故（または年齢にあまり関係のない他の影響）による一定の死亡率を表し、2番目の項は、年齢による死亡率の増加を表しています。このようなモデルは、後の成人ではあるが老化していない年齢の短い範囲で実行可能な場合があります。基本的にはマケハムの法則です（ハザード関数として提示されますが、年率は合理的な近似値になります）。

それは一般化された非線形モデルです。