海で失われた漁師の探索にベイズの定理を適用する方法

The Odds、Continually Updatedの記事では、文字通りベイジアン統計に人生を負っているロングアイランドの漁師の話に言及しています。これが短いバージョンです：

夜中にボートに乗っている2人の漁師がいます。一方が眠っている間に、もう一方は海に落ちます。ボートは、最初の男が目を覚まして沿岸警備隊に通知するまで、オートパイロットで夜中ずっと動き回っています。沿岸警備隊は、SAROPS（Search and Rescue Optimal Planning System）と呼ばれるソフトウェアを使用して、体温が低く、浮かんでいるエネルギーがほとんどないので、適時に彼を見つけました。

ここに長いバージョンがあります：海のスペック

ここで、ベイズの定理が実際にどのように適用されているかをもっと知りたいと思いました。グーグルで調べただけで、SAROPSソフトウェアについてかなりのことがわかりました。

SAROPSシミュレーター

シミュレータコンポーネントは、海流、風などのタイムリーなデータを考慮に入れ、数千の可能なドリフトパスをシミュレートします。これらのドリフトパスから、確率分布マップが作成されます。

次の図は、上記の行方不明の漁師の場合を示しているのではなく、このプレゼンテーションから取ったおもちゃの例です

確率マップ1（赤は最も高い確率を示し、青は最も低い確率を示します）

開始位置である円に注意してください。

確率マップ2-さらに時間が経過しました

確率マップがマルチモーダルになっていることに注意してください。これは、この例では、複数のシナリオが考慮されているためです。

1. 人は水に浮かんでいます-トップミドルモード
2. 人は救命いかだに乗っています（北からの風の影響がより大きくなります）-下2つのモード（「ジャイブ効果」のために分割されます）

確率マップ3-赤の長方形のパスに沿って検索が行われました。 この画像は、プランナー（SAROPSの別のコンポーネント）によって生成された最適なパスを示しています。ご覧のとおり、これらのパスが検索され、シミュレータによって確率マップが更新されています。

検索されたエリアがゼロ確率に減らされていないのはなぜだろうと思うかもしれません。これは、失敗の可能性が考慮されているためです。つまり、検索者が水中の人を見落とす可能性が無視できないことです。当然、失敗の確率は、救命いかだにいる人よりも浮いている孤独な人の方がはるかに高く（見やすい）、そのため、上部の領域の確率はあまり下がっていません。$p(\text{fail})$

失敗した検索の影響

これが、ベイズの定理が登場する場所です。検索が実行されると、それに応じて確率マップが更新されるため、別の検索を最適に計画できます。

ベイズ確認した後の定理をウィキペディアにして記事のアン直感的（ショート）ベイズの説明定理にBetterExplained.com

ベイズの方程式を取りました。

$$P(\text{A}\mid\text{X}) = \frac{P(\text{X}\mid\text{A}) \times P(\text{A})}{P(\text{X})}$$

そして、次のようにAとXを定義しました...

• イベントA：このエリアにいる人（グリッドセル）

• テストX：そのエリア（グリッドセル）での検索の失敗、つまりそのエリアを検索しても何も表示されなかった

降伏、

$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{unsuccessful}\mid\text{person there}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$$

私がで見つかった検索およびレスキュー最適計画システム SAROPSが失敗した検索、確率を計算することをのアカウントに検索パスとシミュレートされたドリフトパスを取ることによって、。したがって、簡単にするために、の値が何であるかを知っていると仮定しましょう。$P(\text{fail})$$P(\text{fail})$

だから今、私たちは、

$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{fail}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$$

1. ここでベイズの方程式は正しく適用されていますか？

2. 検索の失敗の確率である分母はどのように計算されますか？

   また、捜索救助最適計画システムでは、彼らは言う

   事前確率は、「通常のベイジアン方式で正規化されて」事後確率を生成します

3. 「通常のベイジアン方式で正規化」とはどういう意味ですか？

   すべての確率がで除算されるのですか、それとも単純に正規化されて、確率マップ全体が1つになるようにするのですか？または、これらは同じですか？$P(\text{unsuccessful})$

4. 最後に、すべてのエリア（グリッドセル）を検索していないため、等しいセルがあることを考慮して、失敗した検索用に更新した後、グリッド付き確率マップを正規化する正しい方法は何ですか？とに等しいいくつかの？$P(\text{person there})$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful})$

さらに別の簡略化ノート-Search and Rescue Optimal Planning Systemによると、事後分布は実際にシミュレートされたドリフトパスの確率を更新し、THENグリッド付き確率マップを再生成することによって計算されます。この例を非常にシンプルに保つために、私はsimパスを無視してグリッドセルに焦点を合わせることにしました。

1. グリッドセル間の独立性を仮定すると、はい、ベイズの定理が適切に適用されたように見えます。
2. 分母を拡張することができ、例えば 使用して、確率の法則の合計補数であるが、つまり人はありません。おそらく、と仮定します。 $$P(X) = P(X|A)P(A) + P(X|A^c)P(A^c)$$ $A^c$$A$$P(X|A^c)=1$
3. 私はマニュアルを書いていないので、「通常のベイジアン様式で正規化された」とはどういう意味か本当にわかりません。しかし、を見つけるには次の3つの式で十分であるという事実について確かに話している：したがって、、つまり正規化定数。彼らがこれを使用して単一のグリッドセルまたはマップ全体の確率を更新したかどうかはわかりません（おそらく両方）。$P(A|X)$ $$P(A|X) \propto P(X|A)P(A)\quad P(A^c|X), \propto P(X|A^c)P(A^c), \mbox{ and } P(A|X)+P(A^c|X) = 1$$ $P(X)$

4. 表記法を拡張して、グリッドセルとがグリッドセルにイベントであり、がグリッドセルが検索され、誰も見つからなかったというイベントにします。新しい表記法では、は失敗した検索のコレクションになります。以下を想定しています。$i$$A_i$$i$$X_i$$i$$X$

   • $\sum_i P(A_i|X)=1$、つまり検索を実行した後、個人がそのセルにいる確率のセル全体の合計は1です。これは再び確率の総法則です。
   • あるセルで検索しても他のセルについて何も示されないと仮定した場合、検索されたセルについておよび検索されなかった細胞。独立性を仮定しない場合、式はより複雑になりますが、直観は似ています。つまり、比例定数まで計算します。$P(A_i|X) = P(A_i|X_i)\propto P(X_i|A_i)P(A_i)$$P(A_i|X) \propto P(A_i)$$P(A_i|X)$

   これらの2つの仮定を使用してを計算し、それに応じてマップを更新できます。$P(A_i|X)$

私は、ヘリコプターのパイロットであり、実際に捜索救助任務を遂行していた元教授によって、私の質問に捧げられた章全体- 海軍作戦分析 - がある本を指されました！

第8章では、次のような例を提供します（少しカスタマイズしました）。

最初に、行方不明者、ボートなどの場所のグリッド化された事前配布があります。

事前配布：

グリッドの一部で検索が実行され、質問で述べたのと同じ方法でベイズの方程式を適用することにより、確率が正規化された事後分布で更新されます。

$$P(\text{target in (i,j)}\mid\text{no detection}) = \frac{P(\text{no detection}\mid\text{target in (i,j)}) \times P(\text{target in (i,j)})}{P(\text{no detection})}$$

ここで、（i、j）=（lat、long）

この場合、列3の合計事前確率が最も大きいため、列3を検索することにしました。

pFail = 0.2の3番目の列を検索した後の正規化された事後分布：

私の質問は、主に後部がどのように正規化されたかについてでした。ここでは、本の中で行われていた方法です- 単純に合計することによって、個々の事後確率を分割し、S：

私は教授が「検出の80％の確率までしか検索しないので、検索が失敗する確率0.2を選択しました。これは通常、ティムリネスと正確さの最適なトレードオフだからです。」

キックのためだけに、pFailが0.5の別の例を実行しました。一方、最初の例（pFail = 0.2）では、次の最適な検索ルート（正規化された後方と直線検索を想定して、斜めまたはジグザグがない場合）は、2番目の例（pFail = 0.5）次に最適なルートは2 行目です。

pFail = 0.5の3番目の列を検索した後の正規化された事後分布：

また、「航空機は、最高の高度と対気速度を決定するために小さなチェックリストを持ちます。飛行ヘリコプターでこれを操作することは、洗濯機の上に座って、別の洗濯機にダクトテープで巻かれた本を読むようなものです」