ガンマ分布とカイ二乗分布の関係

場合、すなわち、全て、同じ分散を有するゼロ平均の正規確率変数IIDれます次いで、

Y = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$

X_{i} \sim N (0, σ^{2})

$X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

X_{i}

$X_i$

Y \sim Γ （ \frac{N}{2} 、 2 σ^{2} ） 。

$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$

カイ2乗分布はガンマ分布の特殊なケースですが、ランダム変数カイ2乗分布を導出できませんでした $Y$ 。助けてください？

chi-squared gamma-distribution

— カカ
ソース

いくつかの背景

二乗加算の結果こと分布は分布のように定義されるの独立確率変数をので、：ここではランダム変数および同じ分布を持ちます（編集：は、自由度カイ2乗分布と、そのような分布のランダム変数の両方を示します）。さて、分布のpdf は $\chi^2_n$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

If X_{1}, \dots, X_{n} \sim N (0, 1) and are independent, then Y_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \sim χ_{n}^{2},

$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$

X \sim Y

$X\sim Y$

X

$X$

Y

$Y$ $\chi_n^2$ $n$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

f_{χ^{2}} (x; n) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{x}{2}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$ 実際だから、分布は、pdfの分布の特定のケースこれで、。

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Γ (p, a)

$\Gamma(p,a)$

f_{Γ} (x; a, p) = \frac{1}{a^{p} Γ (p)} x^{p - 1} e^{- \frac{x}{a}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2)

$\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

あなたの場合

あなたの場合の違いは、共通変数を持つ通常の変数があることです。ただし、その場合も同様の分布が生じます：そう乗算した分布以下を持つ確率変数。これは、ランダム変数（）の変換で簡単に取得できます：これは、と言っているのと同じであることに注意してください。 $X_i$ $\sigma^2\neq1$

Y_{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} = σ^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{X_{i}}{σ})}^{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y

$Y$

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{2} = σ^{2} Y_{1}

$Y_2=\sigma^2Y_1$

f_{σ^{2} χ^{2}} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

Y_{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2 σ^{2})

$Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$ 以来、ガンマので吸収することができるパラメータ。

σ^{2}

$\sigma^2$

a

$a$

注意

あなたがのPDFを導出したい場合は（もの状況にも適用され、最初からマイナーの変更の下に）、あなたは最初のステップに従うことができ、ここで用の標準的な変換を使用してランダム変数の場合。次に、次の手順に従うか、ガンマ分布の畳み込み特性と上記のとの関係に依存する証明を短くします。 $\chi^2_n$ $\sigma^2\neq1$ $\chi_1^2$ $\chi^2_n$

— イプシロン
ソース

素敵な説明（+1）。あなたがいることを言うときしかし、私は疑わしいと思いおそらくそれがあるべき最後に、

Y_{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y_{2} = σ^{2} U,

$Y_2=\sigma^2U,$

U \sim χ_{n}^{2} .

$U\sim\chi_n^2.$

f_{σ^{2} U} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2 U}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

— カカ14年

ありがとう@kaka。最初の点では、実際にはという表記で、変数にを掛けたときに生じるランダム変数を参照しているので、私たちは同じことを言っています。 .. 2番目の点で、は密度を参照するために使用した表記法であることをてください（パラメーターは2番目の引数として表示されます）。表記では、の密度はとして読み取られますが、これも問題ありませんが、を2回繰り返しています。

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi_n^2$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

σ^{2}

$\sigma^2$

f_{χ^{2}} (x; n)

$f_{\chi^2}(x;n)$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

n

$n$

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi^2_n$

f_{χ_{n}^{2}} (x; n)

$f_{\chi_n^2}(x;n)$

n

$n$

— エプシロン14年

しかし、最初の方程式では、を分布として定義しました

X_{n}^{2}

$\mathcal{X}_n^2$

\sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2} .

$\sum_{i=1}^N X_i^2.$

— カカ14年

はい、の式ではの分散があるため、は最初の式のに似ています。

Y_{2}

$Y_2$

X_{i}

$X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{X_{i}}{σ}

$\frac{X_i}{\sigma}$

X_{i}

$X_i$

— エプシロン14年

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$ は、自由度がカイ二乗分布関数と、そのような分布に従うランダム変数を示します。これは表記法の乱用かもしれませんが、意味は明確でなければなりません。それでも答えを編集して明確にします。

n

$n$

— エプシロン14年