AR（2）の定常性の証明

平均中心のAR（2）プロセス考えます。ここで、は標準のホワイトノイズプロセスです。ただ、単純化のために、私は呼ぶことにしましょうと。特性の根に着目し、私が得た方程式

X_{t} = ϕ_{1} X_{t - 1} + ϕ_{2} X_{t - 2} + ϵ_{t}

$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$

ϵ_{t}

$\epsilon_t$

ϕ_{1} = b

$\phi_1=b$

ϕ_{2} = a

$\phi_{2}=a$

教科書では、古典的な条件は以下の通りであります：

根の不等式、つまりシステム

z_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} + 4 a}}{2 a}

$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$

{\begin{cases} | a | < 1 \\ a \pm b < 1 \end{cases}

$\begin{cases}|a|<1 \\ a\pm b<1 \end{cases}$

ちょうど取得

（第3の条件ができます

）取得お互いに前の二つのソリューションを追加回復する

一部の記号の配慮を通じてなっていることを

？または、私は解決策を逃していますか？

{\begin{cases} | \frac{- b - \sqrt{b^{2} + 4 a}}{2 a} | > 1 \\ | \frac{- b + \sqrt{b^{2} + 4 a}}{2 a} | > 1 \end{cases}

$\begin{cases}|\frac{-b-\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1 \\ |\frac{-b+\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1\end{cases}$

a \pm b < 1

$a \pm b<1$

| a | < 1

$|a|<1$

a + b + a - b < 2 \Rightarrow a < 1

$a+b+a-b<2 \Rightarrow a<1$

| a | < 1

$|a|<1$

self-study stationarity arma

— マルコ
ソース

私の推測では、あなたが出発している特性方程式は私のものとは異なると思います。同意するかどうかを確認するために、いくつかの手順を進めます。

λ^{2} - ϕ_{1} λ - ϕ_{2} = 0

$\lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0$

$z$ $1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0$ $z^{-1}=\lambda$

\begin{array}{rcl} 1 - ϕ_{1} z - ϕ_{2} z^{2} & = & 0 \\ \Rightarrow z^{- 2} - ϕ_{1} z^{- 1} - ϕ_{2} & = & 0 \\ \Rightarrow λ^{2} - ϕ_{1} λ - ϕ_{2} & = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*}$

A R (2)

$AR(2)$

| z | > 1 \Leftrightarrow | λ | = | z^{- 1} | < 1

$|z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1$

$AR(2)$ $AR(2)$

$\phi_2<1+\phi_1$
$\phi_2<1-\phi_1$
$\phi_2>-1$

λ_{1, 2} = \frac{ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{2}

$\lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}$

$AR(2)$ $|\lambda|<1$ $\lambda_i$

\begin{array}{rcl} - 1 < \frac{ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{2} & < & 1 \\ \Rightarrow - 2 < ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 \end{array}

$\begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*}$

λ_{i}

$\lambda_i$

ϕ_{1} + \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} < 2

$\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2$

\begin{array}{rcl} ϕ_{1} + \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 \\ \Rightarrow \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 - ϕ_{1} \\ \Rightarrow ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2} & < & (2 - ϕ_{1})^{2} \\ \Rightarrow ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2} & < & 4 - 4 ϕ_{1} + ϕ_{1}^{2} \\ \Rightarrow ϕ_{2} & < & 1 - ϕ_{1} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*}$

ϕ_{2} < 1 + ϕ_{1}

$\phi_2<1 + \phi_1$

$\lambda_i$ $\phi_1^2<-4\phi_2$

λ_{1, 2} = ϕ_{1} / 2 \pm i \sqrt{- (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2})} / 2.

$\lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2.$

λ^{2} = (ϕ_{1} / 2)^{2} + {(\sqrt{- (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2})} / 2)}^{2} = ϕ_{1}^{2} / 4 - (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}) / 4 = - ϕ_{2} .

$\lambda^2 = (\phi_1/2)^2 + \left(\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2\right)^2 = \phi_1^2/4-(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2.$

| λ | < 1

$|\lambda|<1$

- ϕ_{2} < 1

$-\phi_2<1$

ϕ_{2} > - 1

$\phi_2>-1$

ϕ_{2} < 1

$\phi_2<1$

ϕ_{2}^{2} < 1

$\phi_2^2<1$

ϕ_{2} < 1 + ϕ_{1}

$\phi_2<1+\phi_1$

ϕ_{2} < 1 - ϕ_{1}

$\phi_2<1-\phi_1$

定常三角形をプロットし、複素根を実根から分離する線も示して、

ここに画像の説明を入力してください

を使用してRで作成

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)

— クリストフ・ハンク
ソース

これは非常に詳細な説明です。

— マルコ

λ^{2}

$\lambda^2$

z = a + b i

$z = a + bi$

z^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 i a b

$z^2 = a^2 - b^2 + 2iab$

ありがとう、結構です！私は二乗モジュラスについて言及していました。編集を参照してください。

— クリストフハンク

@ChristophHanck、これら2つのスレッドでのAksakalの回答に対するあなたの見解は何ですか：1と2？彼らはあなたの答えと矛盾していますか？もしそうなら、正しい答えは何ですか？

— リチャードハーディ

M A (\infty)

$MA(\infty)$