連続してボールを選択してマークすることにより、ボールの数を推定する

バッグにN個のボールがあるとします。最初のドローで、ボールにマークを付けてバッグに戻します。2回目の抽選で、マークされたボールを手に取ったら、バッグに戻します。ただし、マークの付いていないボールを拾った場合は、マークを付けてバッグに戻します。私はこれを何度も引き続けます。ドローの数とマークされた/マークされていないドローの履歴が与えられた場合、バッグ内の予想ボール数はいくつですか？

— アシェモン
ソース

関連している可能性があります：個体数を推定するために、捕獲-再捕獲法を見ましたか？en.wikipedia.org/wiki/Mark_and_recapture

— a.arfe 2014年

「期待数」は、確率分布がないため、通常の技術的な意味での期待値では理解できません。推定量を求めているようです。

N

$N$

N

$N$

— whuber

ここにアイデアがあります。ましょう可能な値となる自然数の有限の部分集合である。事前分布がある。非ランダムな正の整数修正します。してみましょう我々がボールマークした回数表すランダム変数である袋から描画を。目標は、を見つけることです。これはと以前の関数になります。 $\mathcal{I}$ $N$ $\mathcal{I}$ $M$ $k$ $M$ $E(N|k)$ $M,k$

ベイズのルールにより、

\begin{aligned} P (N = j | k) & = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{P (k)} \\ = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{\sum_{r \in I} P (k | N = r) P (N = r)} \end{aligned}

$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$

コンピュー、クーポンコレクタ問題に変異体が知られている計算です。は、クーポンが合計場合に、ドローで異なるクーポンを観察する確率です。の議論についてはここを参照してください $P(k|N=j)$ $P(k|N=j)$ $k$ $M$ $j$

P (k | N = j) = \frac{(\binom{j}{k}) k! S (M, k)}{j^{M}}

$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$

ここで、は第2種のスターリング数を示します。次に計算できます $S$

E (N | k) = \sum_{j \in I} j P (N = j | k)

$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$

以下は、さまざまなおよび計算です。いずれの場合も、事前にユニフォームを使用します $k$ $M$ $[k,10k]$

\begin{array}{ccc} M & k & E (N) \\ 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69 \\ 30 & 15 & 20.00 \\ 30 & 20 & 39.53 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$

— user35546
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