不等分散のt検定における非整数の自由度の説明

SPSS t-Testプロシージャは、2つの独立した平均を比較するときに2つの分析を報告します。1つの分析は等分散を仮定し、もう1つは等分散を仮定しません。等しい分散が仮定される場合の自由度（df）は、常に整数値（およびn-2に等しい）です。等分散が仮定されていない場合のdfは非整数（11.467など）であり、n-2の近くにはありません。これらの非整数dfの計算に使用されるロジックと方法の説明を求めています。

Welch-Satterthwaite dfは、2つの自由度のスケーリングされた重み付き調和平均であり、重みは対応する標準偏差に比例することを示すことができます。

元の式は次のとおりです。

$$\nu_{_W} = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{s_1^4}{n_1^2\nu_1}+\frac{s_2^4}{n_2^2\nu_2}}$$

は、i 番目のサンプル平均の推定分散または平均のi番目の標準誤差の二乗であることに注意してください。ましょうR = R 1 / R 2そう、（サンプル手段の推定された分散の比）$r_i=s_i^2/n_i$$i^\text{th}$$i$$r=r_1/r_2$

$$\begin{align} \nu_{_W} &= \frac{\left(r_1+r_2\right)^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \newline \newline &=\frac{\left(r_1+r_2\right)^2}{r_1^2+r_2^2}\frac{r_1^2+r_2^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \newline \newline &=\frac{\left(r+1\right)^2}{r^2+1}\frac{r_1^2+r_2^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \end{align}$$

第一の要因は、から増加し、1でR = 0に2で、R = 1、その後に減少1でR = ∞。log rで対称です。$1+\text{sech}(\log(r))$$1$$r=0$$2$$r=1$$1$$r=\infty$$\log r$

2番目の要因は、重み付き調和平均です。

$$H(\underline{x})=\frac{\sum_{i=1}^n w_i }{ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}\,.$$

DFの 2 DFに対する重みであります$w_i=r_i^2$

どのとき、言うことである非常に大きく、それが収束するν 1。場合、R 1 / R 2が非常に近くにある0が収束するν 2。とき、R 1 = R 2あなたはDFの倍の調和平均を取得し、ときsは2 1 = S 2 2を、あなたはまたのために可能な最大値であり、通常の等分散t検定のDF、取得ν Wを。$r_1/r_2$$\nu_1$$r_1/r_2$$0$$\nu_2$$r_1=r_2$$s_1^2=s_2^2$$\nu_{_W}$

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等分散t検定では、仮定が成り立つ場合、分母の2乗はカイ2乗のランダム変量の定数倍です。

ウェルチt検定の分母の2乗は（一定の時間で）カイ2乗ではありません。ただし、近似値としてはそれほど悪くないことがよくあります。ここで関連議論を見つけることができます。

教科書スタイルの派生については、こちらをご覧ください。

$t$$t$$t$$t$$t$$s^2_1/n_1$$s_2^2/n_2$$t$