回帰F検定の能力は何ですか？

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多重線形回帰における変数のサブセットの古典的なF検定は、ここで、は、「縮小」モデルの下での二乗誤差の合計であり、「大きな」モデル内にネストし、は、 2つのモデル。'big'モデルの追加の変数には線形の説明力がないという帰無仮説では、統計量はおよびの自由度を持つFとして分布されます。

F = \frac{(SSE (R) - SSE (B)) / (d f_{R} - d f_{B})}{SSE (B) / d f_{B}},

$F = \frac{(\mbox{SSE}(R) - \mbox{SSE}(B))/(df_R - df_B)}{\mbox{SSE}(B)/df_B},$

SSE (R)

$\mbox{SSE}(R)$

B

$B$

d f

$df$

d f_{R} - d f_{B}

$df_R - df_B$

d f_{B}

$df_B$

しかし、代替案の下での分布はどうですか？私はそれが非中心Fであると思います（二重非中心ではないことを願っています）が、非中心パラメーターが正確に何であるかについての参照は見つかりません。私はそれが真の回帰係数、おそらくは計画行列に依存すると推測しますが、それを超えると私はよくわかりません。 $\beta$ $X$

— みすぼらしい
ソース

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非心度パラメーターは、制限付きモデルの射影は、は真のパラメーターのベクトル、は無制限（真）モデルの設計行列、規範です： $\delta^{2}$ $P_{r}$ $\beta$ $X$ $|| x ||$

δ^{2} = \frac{| | X β - P_{r} X β | |^{2}}{σ^{2}}

$\delta^{2} = \frac{|| X \beta - P_{r} X \beta ||^{2}}{\sigma^{2}}$

あなたは、このように式を読むことができます：デザイン行列を条件と予想値のベクトルである。を経験的データベクトルとして扱う場合、制限付きモデルサブへの射影はであり、これにより、その「データ」の制限付きモデルからの予測が得られます。したがって、は類似しており、その予測の誤差を与えます。したがって、は、その誤差の二乗の合計を与えます。制限されたモデルがtrueの場合、 $E(y | X) = X \beta$ $X$ $X \beta$ $y$ $P_{r} X \beta$ $\hat{y}$ $X \beta - P_{r} X \beta$ $y - \hat{y}$ $|| X \beta - P_{r} X \beta ||^{2}$ $X \beta$ とで定義された部分空間内にすでに存在しているため、非心度パラメーターはです。 $X_{r}$ $P_{r} X \beta = X \beta$ $0$

これはMardia、Kent＆Bibbyにあります。（1980）。多変量解析。

— カラカル
ソース

すごい！ノルムは二乗されるべきですか？それ以外の場合は、単位が重要なようです？あなたは..私はそれが当たり前で乗だと思うので、それは、「二乗和」で述べる

— shabbychef

@shabbychefもちろんあなたは正しい、それをキャッチしてくれてありがとう！

— カラカル

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δ^{2} = \frac{| | X β_{1} - X β_{2} | |^{2}}{σ^{2}},

$\delta^2 = \frac{||X\beta_1 - X\beta_2||^2}{\sigma^2},$

通常であるべきものの経験的CDF

ここにRコードがあります（スタイルを許してください、私はまだ学んでいます）：

#sum of squares
sum2 <- function(x) { return(sum(x * x)) }
#random integer between n and 2n
rint <- function(n) { return(ceiling(runif(1,min=n,max=2*n))) }
#generate random instance from linear model plus noise.
#n observations of p2 vector
#regress against all variables and against a subset of p1 of them
#compute the F-statistic for the test of the p2-p1 marginal variables
#compute the p-value under the putative non-centrality parameter
gend <- function(n,p1,p2,sig = 1) {
 beta2 <- matrix(rnorm(p2,sd=0.1),nrow=p2)
 beta1 <- matrix(beta2[1:p1],nrow=p1)
 X <- matrix(rnorm(n*p2),nrow=n,ncol=p2)
 yt1 <- X[,1:p1] %*% beta1
 yt2 <- X %*% beta2
 y <- yt2 + matrix(rnorm(n,mean=0,sd=sig),nrow=n)
 ncp <- (sum2(yt2 - yt1)) / (sig ** 2)
 bhat2 <- lm(y ~ X - 1)
 bhat1 <- lm(y ~ X[,1:p1] - 1)
 SSE1 <- sum2(bhat1$residual)
 SSE2 <- sum2(bhat2$residual)
 df1 <- bhat1$df.residual
 df2 <- bhat2$df.residual
 Fstat <- ((SSE1 - SSE2) / (df1 - df2)) / (SSE2 / bhat2$df.residual)
 pval <- pf(Fstat,df=df1-df2,df2=df2,ncp=ncp)
 return(pval)
}
#call the above function, but randomize the problem size (within reason)
genr <- function(n,p1,p2,sig=1) {
 use.p1 <- rint(p1)
 use.p2 <- use.p1 + rint(p2 - p1)
 return(gend(n=rint(n),p1=use.p1,p2=use.p2,sig=sig+runif(1)))
}
ntrial <- 4096
ssize <- 256
z <- replicate(ntrial,genr(ssize,p1=4,p2=10))
plot(ecdf(z))

— みすぼらしい
ソース

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コードのフォローアップのための+1。いつもそれを見て良い。

— mpiktas