時系列での安定性のテスト

特定の時系列が安定したときにテストするための標準（または最良）の方法はありますか？

やる気

各タイムステップで値を出力する確率的動的システムがあります。このシステムは、タイムステップまでいくつかの一時的な動作をし、いくつかのエラーを伴っていくつかの平均値周りで安定します。、、またはエラーはどれも私にはわかりません。私はいくつかの仮定をしたいと思っています（周りのガウス誤差のように） T ∈ N T * X * T * X * X * X 0 0 X * X $x_t$$t \in \mathbb{N}$$t^*$$x^*$$t^*$$x^*$$x^*$たとえば）しかし、私が必要とするアプリオリな仮定が少ないほど、より良いです。私が確信している唯一のことは、システムが収束する安定点は1つだけであり、安定点の周りの変動は過渡期間中の変動よりもはるかに小さいことです。プロセスも単調で、は近くから始まり、向かって上昇していると想定でき（周りで安定する前に少しオーバーシュートする可能性があります）。$x_0$$0$$x^*$$x^*$

データは、シミュレーションから来るということだ、と私は（私は唯一の過渡期に興味を持っていますので）私のシミュレーションの停止条件として、安定性試験を必要としています。$x_t$

正確な質問

いくつかの有限の時間値へのアクセスのみが与えられた場合、確率的動的システムがある点周りで安定したと合理的な精度で言う方法はありますか？テストが、、および周りのエラーも返す場合のボーナスポイント。ただし、シミュレーションが完了した後でこれを理解する簡単な方法があるため、これは必須ではありません。 T x ∗ x ∗ t ∗ x $x_0 ... x_T$$T$$x^*$$x^*$$t^*$$x^*$

素朴なアプローチ

最初に頭に浮かぶ素朴なアプローチ（たとえば、一部のニューラルネットワークのwin条件として使用されているのを見てきました）は、パラメーターとを選択し、最後のタイムステップの場合、2つの点とそのような次に、安定したと結論付けます。このアプローチは簡単ですが、厳密ではありません。また、と適切な値を推測する必要があります。E T x x ′ x ′ − x > E T $T$$E$$T$$x$$x'$$x' - x > E$$T$$E$

過去のいくつかのステップを振り返って（またはおそらく何らかの方法で古いデータを割り引いて）、このデータから標準エラーを計算し、他のいくつかのステップ（または別のステップ）があるかどうかをテストするより良いアプローチがあるはずです割引スキーム）時系列はこの誤差範囲外ではありません。私はそのような少し素朴ではありますが、それでも単純な戦略を回答として含めました。

任意の助け、または標準的な技術への参照は高く評価されます。

ノート

また、この質問をそのままメタオプティマイズに、またシミュレーション風味の説明として計算科学にクロス投稿しました。

この短い発言は完全な答えにはほど遠く、ほんの一部の提案です。

• あなたが行動をすることによって、異なる2つの期間がある場合は異なるが、私は、（この特定の状況では関係ありません）の平均や分散や時系列オブジェクトの任意の他の予想される特性モデルのパラメータのいずれかの違いを意味する（あなたのケースでは） 、構造的（または流行的）変化の時間（間隔）を推定する任意の方法を試すことができます。$x_t$
• Rには、線形回帰モデルの構造変化のためのstrucchange ライブラリがあります。これは主に線形回帰のパラメーターの変更をテストおよび監視するために使用されますが、一部の統計は時系列の一般的な構造変化に使用できます。

私があなたの質問を読んだとき、「そして安定点の周りの変動は過渡期間中の変動よりもはるかに小さい」それから私が得ることは、エラーの分散がいつ変化したか、いつ変化したか、そして変化したかどうかを検出するための要求です！それが目的の場合は、作業またはR. Tsayの「時系列の外れ値、レベルシフト、分散の変化」、Journal of Forecasting Vol 7、1-20（1988）を確認することを検討してください。私はこの分野でかなりの仕事をしてきましたが、良い分析を行う上で非常に生産的であることがわかりました。独立した観測値、パルス外れ値、レベルシフト、ローカルタイムトレンド、および時間不変パラメーターがないことを前提とする他のアプローチ（ols /線形回帰分析など）は、私の意見では不十分です。

私は質問についてもっと考えていて、人々が方向性についてさらなるアイデアを知っていることを期待して、答えとして単純なアプローチを少し強化すると思いました。また、変動の大きさを知る必要がなくなります。

これを実装する最も簡単な方法は、2つのパラメーターです。ましょうタイムステップ間の時間系列の変化で及び。系列が周りで安定している場合、は標準誤差を伴ってゼロ付近で変動します。ここでは、このエラーは正常であると仮定します。y t = x t + 1 − x t t t + 1 x ∗$(T,\alpha)$$y_t = x_{t + 1} - x_{t}$$t$$t + 1$$x^*$$y$

最後の、取り、Matlabのnormfitのような関数を使用して、信頼度ガウス分布を近似します。フィットは、私たちに平均与えると平均の信頼誤差と標準偏差対応するエラーと。場合は、あなたは受け入れることができます。さらに確実にしたい場合は、見つかった正規化し（標準偏差）、コルモゴロフスミルノフでテストすることもできます。、Y T α μ α E μ σ E σ 0 ∈ （μ - E μ、μ + E μ）Y T σ 1 $T$$y_t$$\alpha$$\mu$$\alpha$$E_\mu$$\sigma$$E_\sigma$$0 \in (\mu - E_\mu, \mu + E_\mu)$$y_t$$\sigma$$1$信頼レベルでテストします。$\alpha$

この方法の利点は、単純なアプローチとは異なり、平均の周りの熱変動の大きさについて何も知る必要がないことです。制限は、任意のパラメータがまだあり、ノイズの正規分布を仮定する必要があることです（これは不合理ではありません）。これが割引付きの加重平均で変更できるかどうかはわかりません。別の分布がノイズをモデル化すると予想される場合は、normfitとKolmogorov-Smirnov検定を、その分布と同等のもので置き換える必要があります。$T$

xとの平均との間の相互統合について、（ローリングウィンドウを使用して）逆方向のテストを検討する場合があります。

ときxばたつきが平均値の周りで、うまくいけば増補ディッキーフラーテスト、またはあなたが選ぶどんな共同統合テストを窓掛け、2つのシリーズが共同統合されていることを教えてくれます。2つのシリーズが互いに離れている移行期間に入ると、テストによってウィンドウ付きシリーズが相互統合されていないことがわかります。

このスキームの問題は、小さなウィンドウで共積分を検出するのが難しいことです。また、ウィンドウが大きすぎて、移行期間のごく一部しか含まれていない場合は、ウィンドウ系列が共統合されるべきではないときに統合されていることがわかります。そして、ご想像のとおり、「適切な」ウィンドウサイズを事前に知る方法はありません。

私が言えることは、妥当な結果が得られるかどうかを確認するために、これをいじる必要があるということだけです。

$m_{t+1} - m_{t}$

明らかなカルマンフィルターソリューションのほかに、ウェーブレット分解を使用して、時間と周波数に局所化されたパワースペクトルを取得できます。これは、あなたの想定外の要求を満たしますが、残念ながら、システムが落ち着く時期を正式にテストすることはできません。しかし、実用的なアプリケーションでは問題ありません。高周波のエネルギーが死ぬときと、父のウェーブレット係数が安定するときを見てください。