分散が最小の偏りのない推定量

ましょのランダムサンプルfeomこと分布G E O mはE T R I C （θ ）のために0 < θ < 1。つまり、$X_1, ...,X_n$$Geometric(\theta)$$0<\theta<1$

$$p_{\theta}(x)=\theta(1-\theta)^{x-1} I_{\{1,2,...\}}(x)$$

g （θ ）= 1の最小分散をもつ不偏推定量を求めます$g(\theta)=\frac{1}{\theta}$

私の試み：

幾何分布は指数族からのものであるため、統計は完全であり、θに対して十分です。また、T （X ）= X 1がg （θ ）の推定量である場合、偏りはありません。したがって、Rao-Blackwellの定理とLehmann-Schefféの定理により、 W （X ）= E [ X 1 | ∑ X i ] は、私たちが探している推定量です。

$$\sum X_i$$ $\theta$ $$T(X)=X_1$$ $g(\theta)$ $$W(X) = E[X_1|\sum X_i]$$

次のものがあります。

$W(X) = \sum_{i=1}^t i\, P(X_1=i|\sum X_i =t) = \sum_{i=1}^t i\, \frac{P(\sum_{i \geq 2} X_i =t-i)P(X_1=i)}{P(\sum_{i \geq 1}X_i =t)}$

変数はiid幾何であるため、合計分布は両方とも負の二項です。しかし、可能であれば、二項係数を単純化し、より良い形で最終的な答えを出すのに苦労しています。いくつかの助けが得られたらうれしいです。

ありがとう！

編集：私はあなたが私の疑問を理解しているとは思わない：私はすべての正しい手順を実行したと思います、おそらくいくつかのインジケーター機能を忘れただけです。これが私がしたことです：

$$...=\sum_{i=1}^ti\frac{\binom{t-i-1}{n-2}\theta^{n-i}(1-\theta)^{t-i-n+1} \theta(1-\theta)^{i-1}}{\binom{t-1}{n-1}\theta^n(1-\theta)^{t-n}}=\sum_{i=1}^t i \frac{\binom{t-i-1}{n-2}}{\binom{t-1}{n-1}}$$

私が言ったように、私はこれを単純化するのに苦痛を感じています

確かに幾何学的な変量、、、Rao-Blackwellの定理は は、一意の最小分散不偏推定量です。ただし、この条件付き期待値を直接計算するのではなく、 したがって、その ちなみに、${\cal G}(\theta)$$X$

$$\mathbb{E}_\theta[X]=1/\theta=g(\theta)$$ $$\hat{\theta}(T)=\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$$ $$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\ldots=\mathbb{E}_\theta\left[X_n\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$$ $$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}_\theta\left[X_i\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{T}{n}$$ $\sum_{j\ge 2} X_j$は負の二項式です したがって、最終的な合計はbe $\cal{N}eg(n-1,\theta)$ $$\mathbb{P}\left(\sum_{j\ge 2} X_j=m\right)={m-1\choose n-2}\theta^{n-1}(1-\theta)^{m-n+1}\mathbb{I}_{m>n-1}$$ $$\sum_{i=1}^{t-n+1} i {\binom{t-i-1}{n-2}}\bigg/{\binom{t-1}{n-1}}$$