定期的なデータと定期的なデータを区別するためのテスト

私はいくつかの未知の関数があると$f$ドメインと私は継続性のようないくつかの合理的な条件を満たすために知っています、。いくつかの等間隔のサンプリングポイントt_i = t_0 +iΔtとi∈\ {1、…、n \}でのの正確な値を知っています（これはすべてをキャプチャするのに十分細かいと想定できます）fの関連する側面。たとえば、2つのサンプリングポイント間にfの最大1つの極値があると想定できます。私のデータがfに正確に周期的であるかどうかを示すテストを探しています。つまり、∃τ：f（t +τ）= f（t）\、∀\、t$ℝ$$f$$t_i=t_0 + iΔt$$i∈\{1,…,n\}$$f$$f$$f$$∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$、たとえば$Δt < τ < n·Δt$（ただし、必要に応じてより強い制約を課すことができると考えられる）など、期間の長さはやや共鳴します。

別の観点から見ると、データ${x_0, …, x_n}$あり、f（t_i）= x_i x iであるような周期関数$f$（上記の条件を満たす条件）が存在するかどうかの質問に答えるテストを探しています。$f(t_i)=x_i ∀ i$

重要な点は、が少なくとも周期性に非常に近いことです（たとえば、またはと少量ずつのデータポイントを変更するとデータが準拠するために十分である程度に）正確に周期的です。したがって、フーリエ変換やゼロクロッシングの分析などの周波数分析の標準ツールはあまり役に立ちません。$f$$f(t) := \sin(g(t)·t)$$f(t) := g(t)·\sin(t)$$g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$$f$

私が探しているテストはおそらく確率論的ではないことに注意してください。

私はそのようなテストを自分で設計する方法をいくつか考えていますが、ホイールの再発明を避けたいです。だから私は既存のテストを探しています。

私が言ったように、私はこれをどのように行うかについて考えました、私はそれを実現し、洗練し、そしてそれについて現在書いている論文を書きました：Chaos 25、113106（2015） – ArXivのプレプリント。

調査された基準は、質問でスケッチされたものとほぼ同じです：データでサンプリングされた場合、テストは関数があるかどうかを決定します及びその結果：$x_1, \ldots, x_n$$t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$$f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$$τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• $f$は、シーケンスよりも局所極値を持ちません。、最初と最後のそれぞれに近い最大1つの極値を除いて可能性があります。$x$$f$

テストは、シミュレーション方法の数値誤差などの小さな誤差を考慮して変更できます。

^{私の論文が、なぜ私がそのようなテストに興味を持ったのかについても答えてくれることを願っています。}

離散フーリエ変換（DFT）を使用してデータを周波数領域に変換します。データが完全に周期的である場合、高い値を持つ周波数ビンが1つだけ存在し、他のビンはゼロになります（またはゼロに近い、スペクトルリークを参照）。

周波数分解能はによって与えられることに注意してください。したがって、これは検出精度の限界を設定します。$\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$

実際の周期信号がわかっている場合は、計算します

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

次にの要素を合計します。しきい値を超えている場合（浮動小数点演算の誤差を考慮）、データは周期的ではありません。$\text{difference}$