対数正規尤度とジェフリーズの事前確率の事後密度の導出

対数正規分布の尤度関数は次のとおりです。

$f(x; \mu, \sigma) \propto \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right )$

ジェフリーズの事前は次のとおりです。

$p(\mu,\sigma) \propto \frac{1}{\sigma^2}$

したがって、2つを組み合わせると次のようになります。

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

の事後密度が逆ガンマ分布であることを知っているので、計算する必要があります$\sigma^2$

$f(\sigma^2|x) = \int f(\mu,\sigma^2|x) d\mu$

しかし、ここからどこから始めればよいのかわかりません。

Glen_bのコメントの後、私はそれに打撃を与えます：

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

$= \sigma^{-n-2} \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \exp \left ( - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i - \mu ) \right)$

でも、どこへ行くのかわかりません。

私が得た別のアイデアは、を定義することです。その後、は正規分布です。そう$y_i=\ln(x_i)$$y$

$f(\mu,\sigma^2 |y) = \left [ \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sigma} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} (y_i - \mu)^2 \right ) \right ] \cdot \frac{1}{\sigma^2}$

=σ-N-2⋅EXP（-$\propto \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar y)^2 + n(\bar y - \mu)^2 \right )$ =σ-N-2⋅EXP（-$= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 + n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$ $= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \exp \left (n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$

次に統合します：

$\sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu$

あなたが私が得ることを提案した方法によって：

$\int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu = \sqrt{\frac{2\pi \sigma^2}{n}}$

そう：

$\propto (\sigma^2)^{-(n+1)/2} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right )$

これは確かに逆ガンマ分布です。

しかし、これが正しいかどうかはわかりませんが、通常の可能性と同じ結果になります。

私はこれを文献で見つけました（これ以上の説明はありません）：

では関数と見なされます-あなたが持っているものは通常の密度に比例します。$\mu$

したがって、ステップ1 では、指数にあるの正方形を完成させ、積分の前に余分な定数を引き出し、積分の項に1に積分するために必要な定数を乗算します。次に、同じ定数による積分の前（したがって、式全体の値を変更しないでください）。$\mu$

積分に密度があるので、積分の項を1に置き換えます。

（概念的にはを推定に似たものに置き換えたもの）の関数が残ります。$\sigma$$\mu$

ここで逆ガンマの密度を見てください：

（この場合、形状スケールのパラメーター化を使用します）。

あなたが以前に正しいと仮定すると（私はそれをチェックしていません）-

事後密度を求めます。統合後の関数は、の形式で記述でき。$\sigma^2$$c\cdot(\sigma^2)^{-\text{something}}\cdot\exp(-\text{something-else}/\sigma^2)$

したがって、には逆ガンマ密度に比例する式があります。（密度である必要があるため、1に積分するために必要な定数を指定します。）$\sigma^2$