非ゼロ相関は依存関係を意味しますか？

ゼロ相関は独立性を意味しないという事実を知っています。非ゼロの相関が依存関係を意味するかどうかに興味があります。つまり、いくつかのランダム変数XおよびYの場合、一般にf X 、Y（x 、y ）≠ f X（x ）f Y（y ）？$\text{Corr}(X,Y)\ne0$$X$$Y$$f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

はい、なぜなら

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$$

$$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$$

その場合には不可能であろう。そう$f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$$

質問：密度のないランダム変数では何が起こりますか？

ましょとYは、そのようなことを確率変数表すE [ X 2 ]とE [ Y 2 ] 有限であるが。そして、E [ X Y ]、E [ X ]、およびE [ Y ]はすべて有限です。$X$$Y$$E[X^2]$$E[Y^2]$$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$

$A$$X$$Y$$B$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$A$$B$$E[g(X)h(Y)]$$E[g(X)]E[h(Y)]$$g(\cdot)$$h(\cdot)$

$$A \implies B.$$ $A \implies B$$\neg B \implies \neg A$

相関ランダム変数は、従属ランダム変数です。

$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$X$$Y$）。それらは古典的な意味で無相関のランダム変数ですか？

$A\rightarrow B$$\neg B \rightarrow \neg A$$\neg B$$\neg A$$A$$B$

「火山が噴火した場合、損害が発生する」という文を考えてください。次に、損害がない場合を考えます。明らかに、火山は噴火しなかったか、矛盾していました。

$X,Y$$X,Y$$X,Y$