条件付き確率の直観をどのように開発しますか？

iTunesとYouTubeにあるハーバードの統計110：確率コースのビデオ講義で、この問題に遭遇しました。 ここに要約しようとしました：

標準のデッキからランダムな2枚のカードのハンドが与えられたとします。

1. 少なくとも1つのエースがある場合、両方のカードがエースである確率はどのくらいですか？

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

両方のエースを持っている場合、少なくとも1つのエースを持っていることが暗示されるので、交差点は$P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

これはまさに

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. スペードのエースがある場合、両方のカードがエースである確率はどのくらいですか？

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

今、これらの例のどこかで私は迷子になりました...

後者は明らかに\ frac {3} {51}と同じ$\frac{3}{51}$であり、これが答えであるというのは（私にとって）理にかなっています。（たとえば）スペードのエースがあると言われた場合、さらに$3$枚のエースと$51$枚のカードがあることがわかります。

しかし、前者の例では、数学は問題ないように見えます（そして、それが間違っていた場合、講師はこの例を出さないと思います...）。

この問題の直観を得るにはどうすればよいですか？

直感を助けるために、2つのイベント（結果のセット）を視覚化することを検討してください。

1. 与えられた情報である条件付けイベント。

2. 確率を見つけたい条件付きイベント。

条件付き確率は、2番目の可能性を最初の可能性で割ることによって求められます。

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ありランダムに2枚のカードを対処するために同じ確率の方法は。これらの取引を視覚化する便利な方法は、取引で最初のカードを指定する行（たとえば）と取引の2番目のカードの列を含むテーブルにレイアウトすることです。この表の一部を次に示します。省略記号（）は欠落している部分を示しています。2つのカードを同じにすることはできないため、テーブルの主な対角線に沿ってエントリが存在しないことに注意してください。行と列はエースからキングまで順番に並んでいます。$52 \times 51$$\cdots$

質問はエースに焦点を合わせています。「少なくとも1つのエースがあります」という情報は、最初の4行または最初の4列のいずれかにペアを配置します。私たちの心では、これらの行と列に色を付けることで、それを模式的に視覚化できます。私はそれらを赤で色付けしましたが、両方のエースが現れる場所では、それらを黒で色付けしました：

あるすべてのACEのペアとの合計のための少なくとも1つのエースと他の対、表されるように、あなたが、コンディショニングされた対赤と黒の両方の領域で。そのようなペアはすべて同様に発生する可能性があるため、前者の可能性は$2\times 6 = 12$$2\times (4\times 48) = 384$$12+384=396$

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

これは、赤と黒の領域の黒の部分です。

2番目の質問は、「スペードのエースがある」と断言しています。これは、最初の行と列のみに対応します。

現在、2つのエースを持つのペアと、スペードのエースを持つのペアがあり、合計で個です。前とまったく同じ理由で、2つのエースの可能性は$2\times 3 = 6$$2\times 48=96$$96+6 = 102$

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

繰り返しますが、これは赤+黒領域の黒部分です。

参考のため、最後の図には、ピンクとグレーで表示された前の図が含まれています。これらの領域を比較すると、何が起こったのかがわかります。最初の質問から2番目の質問に進むと、条件付けイベント（ピンク）のペアの数が元のカウント（赤）の約4分の1に減少し、問題のペアの数が減少しました半分だけ（グレーから黒、から）。$12$$6$

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シグマ代数のフィルタリングなど、より複雑な確率の概念を理解しようとする場合、そのような概略図は、おそらく特に役立つでしょう。

2番目の計算につながる問題を設定する別の方法は次のとおりです。

デッキから2枚のカードを引きます。最初に引いたカードがエースだったとすると、2つのエースの確率はどれくらいですか？

このフレージングにより、最初の計算との対比が容易になります。2つのエースを選んだ根本的なチャンスは変わりませんが、エースとして最初のカードを持つ条件は、どちらかがエースである場合の条件よりも制限的です。これは、条件付き確率計算では、必要な組み合わせが少ないオプション間で発生する必要があるため、確率が大きくなることを意味します。

2つの異なるフレージング（スペードのエースとエースとしての最初のカード）は似ています。なぜなら、エース間の対称性/交換可能性を壊すからです：スーツまたはオーダーは任意に交換できません。

最初は、直感をつかむのが大変でした。

1つのアイデアは、問題を限界まで引き上げることです。この場合、スティーブが指摘したように、1つの同一の問題は次のとおりです。私の隣人には2人の子供がいます。彼女に2人の男の子がいる確率はいくらですか。

Thjeの最初のアイデアは、OK、私には1人の男の子がいて、もう1人の子供には1/2の女の子になるチャンスと1/2の男の子になるチャンスがありますが、この場合、あなたはあなたに事実を与えるすべての情報を取得していません少なくともあなたは男の子を持っています）この男の子が女の子またはその逆、またはその両方が最も年長である最年少の子供になることが暗黙のうちにあるため、3つの可能な結果のうちの1つだけが好ましいことを意味します。

私が言ったように、これは問題を限界まで容易にすることです...

ケース1：「私たちはエースを1つ持っている」と同じ抽象ケース->このケースでは、私の隣人には子供が2人ではなく27人、26人が男の子であると想像します。この確率はほぼゼロです。この場合、この情報は、確率的に話す残りの子供が女の子であるという多くの情報を提供することは明らかです。正確には、27人の男の子を持つ1つのケース、タプル（b、b、b、b、b、b、b ...、b）と1人の女の子と26人の男の子（g、b、b 、b ...）、（b、g、b、b、b ...）、したがって、すべての男の子の確率は1/27であり、一般に1 /（N + 1）

case2：具体的な情報。これは、「スペードのエースがあります」または「最初のカードがエースです」と同じです。この場合、私たちの隣人がすべての男の子が26人の子供を持ち、27日に妊娠していると想像してください。27日が男の子になる確率はどのくらいですか？

case2では、この種のそれほど明白ではない条件付き確率の問題に必要な直感を私たち全員が把握できると確信しています。

あなたが金持ちになりたい場合、具体的な情報の欠如は残りの子供に多くの確率的エネルギーを意味するので、26人の男の子と27人の最初のケースに賭けなければなりませんが、2番目のケースではエントロピーが巨大ですベットする場所を知るための情報ではありません。

これが役に立つことを願っています

計算せずに答えが3/51であることがわかりますか？

最初にスペードのエースを取った場合。パッケージに含まれているカードを知っています。したがって、51枚のカードには3つのエースがあります。2番目の場合、3/51の確率で2つのエースがあります。

そして、2つのシナリオの違いを直感的に理解する方法は？

これは、「1つのエースを持っている」が「2つのエースを持っている」に含まれているためです。ただし、「スペードのエースを持っている」は「エースを持っている」には含まれていません。これが違いです。

実際、2つのエースがある場合、1つはありますが、スペードのエースはないかもしれません。したがって、同じ確率ではありません。

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