BenjaminiとHochbergは、False Discovery Rate（FDR）を制御するための最初の（そして今でも最も広く使用されていると思う）メソッドを開発しました。

それぞれ異なる比較のためのP値の束から始め、どの値が「ディスカバリー」と呼ばれるほど低いかを判断し、FDRを指定された値（たとえば10％）に制御します。通常の方法の仮定の1つは、比較のセットが独立しているか「正の依存関係」を持っていることですが、P値のセットを分析する文脈でそのフレーズが何を意味するか正確にはわかりません。

あなたの質問からや他の回答にコメント特に、それはあなたが主にここで「全体像」について混乱しているように私には思える。すなわち、何を「正の依存性は、」このコンテキスト内を参照してくださいすべてで -とは対照的に、どのようなPRDS状態の技術的な意味です。それで、全体像についてお話します。

大きな絵

帰無仮説をテストしており、それらすべてが真であると想像してください。N p値のそれぞれはランダム変数です。何度も何度も実験を繰り返すことdiffernetの生じるであろうPつの分布について話すことができるように、-value毎回のp（ヌル下） -値。どのテストでも、nullの下のp値の分布は均一でなければならないことはよく知られています。そのため、複数テストの場合、p値のN個の周辺分布はすべて均一になります。$N$$N$ $p$$p$$p$$p$$N$$p$

すべてのデータとすべてのテストが互いに独立している場合、p値の結合N次元分布も均一になります。これは、例えば、独立したものの束がテストされている古典的な「ゼリービーン」の状況で真実です。$N$$N$$p$

ただし、そのようにする必要はありません。原則として、値の任意のペアは、正または負のいずれかに相関するか、またはより複雑な方法で依存することができます。4つのグループ間で平均のすべてのペアワイズの差をテストすることを検討してください。これはN = 4 ⋅ 3 / 2 = 6の試験。6つのp値だけがそれぞれ均一に分布します。しかし、それらはすべて正の相関関係があります：（特定の試行で）グループAの偶然の平均が特に低い場合、A-vs-B比較で低いp値が得られる可能性があります（これは誤検出になります）。しかし、この状況では、A-vs-DだけでなくA-vs-Cも低い$p$$N=4\cdot 3/2=6$$p$$p$$p$値。したがって、値は明らかに非独立であり、さらに相互に正の相関があります。$p$

これは、非公式には、「正の依存関係」が指すものです。

これは、複数のテストで一般的な状況のようです。別の例は、互いに相関しているいくつかの変数の違いをテストすることです。それらの1つで有意差を取得すると、別の有意差を取得する可能性が高くなります。

値が「負に依存する」自然な例を考え出すのは難しいです。@ user43849は、上記のコメントで、片側テストでは簡単であると述べました。$p$

片側の選択肢（A> 0およびB> 0）に対してA = 0かどうか、またB = 0かどうかをテストしていると想像してください。さらに、BがAに依存していることを想像してください。たとえば、人口に男性よりも女性が多いかどうか、また、精巣よりも卵巣が多いかどうかを知りたいとします。最初の質問のp値を明確に知ると、2番目の質問のp値に対する期待が変わります。両方のp値が同じ方向に変化し、これがPRDです。しかし、代わりに、母集団2が卵巣よりも精巣が多いという2番目の仮説をテストすると、最初のp値が増加するにつれて2番目のp値に対する期待は減少します。これはPRDではありません。

しかし、私はこれまでのところ、ヌル点の自然な例を思い付くことができませんでした。

現在、Benjamini-Hochberg手続きの有効性を保証する「正の依存関係」の正確な数学的定式化は、かなり注意が必要です。他の回答で述べたように、主な参考文献はBenjamini＆Yekutieli 2001です。それらは、PRDSプロパティ（「サブセットからの各コンポーネントへの正の回帰依存性」）がBenjamini-Hochberg手続きを必要とすることを示しています。これは、PRD（「正の回帰依存性」）プロパティの緩和された形式です。つまり、PRDはPRDSを意味し、したがってBenjamini-Hochberg手続きも伴います。

PRD / PRDSの定義については、@ user43849の回答（+1）とBenjamini＆Yekutieliの論文をご覧ください。定義はかなり技術的であり、私はそれらの直感的な理解が十分ではありません。実際、B＆Yは、他のいくつかの関連する概念にも言及しています。2次の多変量総陽性（MTP2）と正の関連性です。B＆Yによると、それらは次のように関係しています（図は私のものです）：

$\hskip{10em}$

MTP2は、BH手順の正確性を保証するPRDSを意味するPRDを意味します。PRDもPAを意味しますが、PA PRDSです。$\ne$

いい質問です！戻って、Bonferroniが何をしたか、そしてBenjaminiとHochbergが代替を開発する必要があった理由を理解しましょう。

近年、マルチプルテスト補正と呼ばれる手順を実行することが必要かつ強制的になっています。これは、特に全ゲノム関連研究（GWAS）の出現に伴う遺伝学において、ハイスループット科学と同時に実行されるテストの数が増えているためです。遺伝学は私の仕事の領域なので、私の言い訳をすみません。我々は同時に1,000,000テストを実行している場合は、我々は期待する50 、000偽陽性を。これはばかげているほど大きいため、重要度を評価するレベルを制御する必要があります。ボンフェローニ補正、つまり、受け入れしきい値（0.05）を独立テストの数（0.05 /$P = 0.05$$50,000$家族ごとのエラー率（ F W E R ）を修正します。$(0.05/M)$$FWER$

FWERが試験的なエラーレートに関連しているので、これは真である（）式によりF W E R = 1 - （1 - T W E R ）M。つまり、100パーセントから1を引いた値が、実行された独立テストの数の累乗でテストごとのエラー率を引きます。（1 − 0.05 ）1 / M = 1 − 0.05という仮定を立てる$TWER$$FWER = 1 - (1 - TWER)^M$与えTWER≈$(1- 0.05)^{1/M} = 1-\frac{0.05}{M}$は、M個の完全に独立したテスト用に調整された許容P値です。$TWER \approx \frac{0.05}{M}$

私たちが今直面している問題は、BenjaminiとHochbergと同様、すべてのテストが完全に独立しているわけではないということです。したがって、Bonferroni補正は堅牢で柔軟ですが、過補正です。連鎖不平衡と呼ばれるケースで2つの遺伝子がリンクされている遺伝学の場合を考えてみましょう。つまり、ある遺伝子に変異がある場合、別の遺伝子が発現する可能性が高くなります。これらは明らかに独立したテストではありませんが、ボンフェローニ補正ではであると想定されています。ここで、P値をMで除算することにより、相互に実際に影響を与える独立したテストが想定されるため、人為的に低いしきい値が作成されます。独立していません。

BenjaminiとHochbergによって提案され、Yekutieli（および他の多く）によって補強された手順は、Bonferroniよりもリベラルであり、実際、Bonferroni補正は非常に大きな研究でのみ使用されています。これは、FDRでは、テストの一部に相互依存性があり、したがって、Mが大きすぎて非現実的であり、実際に私たちが気にしている結果を取り除くためです。したがって、独立していない1000個のテストの場合、真の Mは1000ではなく、依存関係のためより小さな値になります。したがって、0.05を1000で除算すると、しきい値が厳しすぎて、興味のあるテストを回避できます。

依存関係の制御の背後にあるメカニズムを気にするかどうかはわかりませんが、そうする場合は、参考のためにYekutieliの論文をリンクしました。また、あなたの情報と好奇心のために、いくつか他のものを添付します。

これが何らかの形で役立ったことを願っています。何かを誤って伝えた場合はお知らせください。

〜〜〜

参照資料

正の依存関係に関するYekutieliの論文-http ://www.math.tau.ac.il/~ybenja/MyPapers/benjamini_yekutieli_ANNSTAT2001.pdf

（1.3-問題を参照してください。）

ボンフェローニおよびその他の関心事の説明-Nature Geneticsレビュー。大規模遺伝子研究における統計的検出力と有意性検定-Pak C ShamおよびShaun M Purcell

（ボックス3を参照してください。）

http://en.wikipedia.org/wiki/Familywise_error_rate

編集：

以前の回答では、正の依存関係を直接定義していませんでした。Yekutieliの論文で2.2は、セクションに「正の依存性」というタイトルが付けられています。これは非常に詳細なので、これをお勧めします。ただし、もう少し簡潔にできると思います。

$I_0$$I_0$

$X$$I_0$$X$$I_0$$X$$I_0$$x$$X$

$P$

要約すると、正の依存関係のプロパティは、真のnullテスト統計のセットに対するテスト統計のセット全体の正の回帰依存関係のプロパティであり、0.05のFDRを制御します。したがって、P値はボトムアップ（ステップアップ手順）から進むにつれて、ヌルセットの一部である可能性が高くなります。

共分散行列に関するコメントでの私の以前の回答は間違っていませんでしたが、少し曖昧です。これがもう少し役立つことを願っています。

私が見つかりました。このプレプリントが意味を理解するのに役立ちます。この答えは、このトピックの専門家としてではなく、コミュニティによって吟味され、検証されることを理解しようとするものであると言わなければなりません。

PRDとPRDSの違いについて非常に有益な観察をしてくれたAmoebaに感謝、コメントを参照

$p$$C$$p$$C$

1. $q$$C$
2. $r$$q$$r$$q$$r_i < q_i$$i$
3. $r$$C$

$C$

$p$$p_1 ... p_{n} < B_1 ... B_n$$p$$C$$B_1 ... B_n$

$p_i$$p_i$$p_i$$p_1 ... p_n$$p_1 ... p_n$$p_i$

$p_1 ... p_n$

$p_n$$p_n < B$$B$$p_n < B$$p_n < B$$B$

追加するために編集：

以下は、PRDSではないシステムの推定例です（以下のRコード）。ロジックは、サンプルaとサンプルbが非常に似ている場合、その製品が非定型になる可能性が高いということです。この効果（(a*b), (c*d)比較のためのnullの下でのp値の不均一性ではない）がp値の負の相関を駆動しているのではないかと疑っていますが、確信はありません。2番目の比較（ウィルコクソンではなく）でt検定を行うと同じ効果が現れますが、p値の分布はまだ一様ではなく、おそらく正規性の仮定の違反が原因です。

ab <- rep(NA, 100000)  # We'll repeat the comparison many times to assess the relationships among p-values.
abcd <- rep(NA, 100000)

for(i in 1:100000){
  a <- rnorm(10)    # Draw 4 samples from identical populations.
  b <- rnorm(10)
  c <- rnorm(10)
  d <- rnorm(10)

  ab[i] <- t.test(a,b)$p.value          # We perform 2 comparisons and extract p-values
  abcd[i] <- wilcox.test((a*b),(c*d))$p.value
}

summary(lm(abcd ~ ab))    # The p-values are negatively correlated

ks.test(ab, punif)    # The p-values are uniform for the first test
ks.test(abcd, punif)   # but non-uniform for the second test.
hist(abcd)

彼らの論文では、BenjaminiとYekutieliは、正の回帰依存性（PRD）が単に正に関連していることとどのように異なるかの例を示しています。FDR制御手順は、PRDSと呼ばれる弱い形式のPRD（つまり、変数のサブセットからの各PRD）に依存しています。

正の依存関係は、もともとLehmannによる二変量の設定で提案されましたが、正の回帰依存関係として知られるこの概念の多変量バージョンは、複数のテストに関連するものです。

pg.6からの関連抜粋を次に示します。

$\mathbf{X}$$(\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2)$$\mathbf{X}$$h(\mathbf{X}_1)$$\mathbf{X}_2$$h(\mathbf{X}_1)$

$$\ldots$$

この場合の正の依存性とは、一連のテストが正の相関があることを意味します。そのため、P値を持つテストセットの変数が正の相関がある場合、各変数は独立ではありません。

たとえば、ボンフェローニのp値の修正について考え直す場合、有意性のしきい値を0.1 / 100 = 0.001に設定することにより、100個の統計的に独立したテストでタイプ1のエラー率が10％未満であることを保証できます。しかし、これらの100個のテストのそれぞれが何らかの形で相関しているとしたらどうでしょうか？その後、実際には100の個別のテストを実行していません。

FDRでは、アイデアはボンフェローニ補正とは少し異なります。重要だと宣言するものの特定の割合（たとえば10％）だけが誤って重要と宣言されることを保証するという考え方です。データセットに相関マーカー（正の依存関係）がある場合、実行するテストの総数に基づいてFDR値が選択されます（ただし、統計的に独立したテストの実際の数は少なくなります）。このように、誤検出率がP値のセットのテストの10％以下を誤って宣言していると結論付ける方が安全です。

正の依存関係については、この本の章を参照してください。