すべての半正定行列は共分散行列に対応していますか？

共分散行列は半正定でなければならないことはよく知られていますが、その逆は正しいですか？

つまり、すべての半正定行列は共分散行列に対応していますか？

covariance matrix

— 景京
ソース

ここではPDとPSDの定義に沿って説明します。そうです。これは、構造によって行うことができるためです。少し単純な議論として、実数の要素を持つ行列を意味すると仮定しますが、適切な変更を加えると、複雑な行列にも拡張されます。

してみましょういくつかの実際のPSD行列も。リンクした定義から、対称になります。実対称正定行列は、と書くことができます。これは、によって実行できます $A$ $A$ $A = LL^T$ であれば直交とと対角線と $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ の成分ごとの平方根の行列として。したがって、フルランクである必要はありません。 $\sqrt{D}$ $D$

$Z$ $I$

$LZ$ $A$

— Glen_b-モニカの復活
ソース

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

@amoeba構成することもできますが、引数が機能するために下三角である必要はありません。これはコレスキーの機能ですが、結果が機能するために必須ではありません。

— Glen_b-モニカを復元する14

@Glen対称であることはPSDであるための必要条件ですか、それともその定義は多くの1つですか？

— 2014

対称とPSDとの関係のために114 @参照math.stackexchange.com/questions/516533/...

— フランク