QQラインの信頼帯

この質問は特にに関係するものRではありませんがR、説明のために使用することにしました。

（通常の）qqラインの周りに信頼帯を生成するコードを考えます。

library(car)
library(MASS)
b0<-lm(deaths~.,data=road)
qqPlot(b0$resid,pch=16,line="robust")

私はこれらの信頼帯がどのように構築されるかの説明（または代替の紙/オンライン文書へのリンク）を探しています（RのヘルプファイルでFox 2002への参照を見ましたが、悲しいことに私はこれを持っていません便利な本）。

私の質問は例を使用してより正確になります。Rこれらの特定のCIの計算方法は次のとおりです（で使用するコードを短縮/簡略化しましたcar::qqPlot）。

x<-b0$resid
good<-!is.na(x)
ord<-order(x[good])
ord.x<-x[good][ord]
n<-length(ord.x)
P<-ppoints(n)
z<-qnorm(P)
plot(z,ord.x,type="n")
coef<-coef(rlm(ord.x~z))
a<-coef[1]
b<-coef[2]
abline(a,b,col="red",lwd=2)
conf<-0.95
zz<-qnorm(1-(1-conf)/2)
SE<-(b/dnorm(z))*sqrt(P*(1-P)/n)     #[WHY?]
fit.value<-a+b*z
upper<-fit.value+zz*SE
lower<-fit.value-zz*SE
lines(z,upper,lty=2,lwd=2,col="red")
lines(z,lower,lty=2,lwd=2,col="red")

問題は、これらのSEを計算するために使用される式の正当化とは何ですか（例：line SE<-(b/dnorm(z))*sqrt(P*(1-P)/n)）。

FWIWこの式は、線形回帰で使用される通常の信頼帯の式とは大きく異なります

confidence-interval linear-model qq-plot

— user603
ソース

私はそれに関係する情報を期待順序統計量の分布、特に漸近的な結果：

f_{X_{(k)}} (x) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} [F_{X} (x)]^{k - 1} [1 - F_{X} (x)]^{n - k} f_{X} (x)

$f_{X_{(k)}}(x) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F_X(x)]^{k-1}[1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x)$

X_{(⌈ n p ⌉)} \sim A N (F^{- 1} (p), \frac{p (1 - p)}{n [f (F^{- 1} (p))]^{2}} ）

$X_{(\lceil np \rceil)} \sim AN\left(F^{-1}(p),\frac{p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p))]^2}\right)$

— Glen_b -Reinstate Monica 14

@Glen_bが正しい。ジョンフォックスは35〜36ページに次のように書いています。「順序統計の標準誤差はここで、はCDF対応する確率密度関数です。近似直線に沿った値は。したがって、近似線の周りの約95％の信頼度「エンベロープ」は。 "

X_{(i)}

$X_{(i)}$

S E （ {バツ}_{（ 私 ）} ） = \frac{\hat{σ}}{p （ z_{私} ）} \sqrt{\frac{P_{私} （ 1 - P_{私} ）}{n}}

$\mathrm{SE}(X_{(i)})=\frac{\hat{\sigma}}{p(z_i)}\sqrt{\frac{P_i(1-P_i)}{n}}$

p (z)

$p(z)$

P (z)

$P(z)$

{\hat{X}}_{(i)} = \hat{μ} + \hat{σ} z_{i}

$\widehat{X}_{(i)}=\hat{\mu}+\hat{\sigma}z_{i}$

{\hat{X}}_{(i)} \pm 2 \times S E (X_{(i)})

$\widehat{X}_{(i)}\pm 2\times \mathrm{SE}(X_{(i)})$

— COOLSerdash 14

まだ残っているのは、COOLSerdashが与えた方程式のがで推定されることだけだと思います。

f (F^{- 1} (p))

$f(F^{-1}(p))$

(p (z_{i}) / \hat{σ})

$(p(z_i)/\hat{\sigma})$

— グレン_b-モニカの復活14

それに関係してい順序統計量の分布、特に漸近的な結果：

f_{{バツ}_{（ k ）}} （ バツ ） = \frac{n ！}{（ k - 1 ） ！ （ n - k ） ！} [F_{バツ} （ バツ ）]^{k - 1} [1 - F_{バツ} （ バツ ）]^{n - k} f_{バツ} （ バツ ）

$f_{X_{(k)}}(x) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F_X(x)]^{k-1}[1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x)$

{バツ}_{（ ⌈ n p ⌉ ）} 〜 A N （ F^{- 1} （ p ） 、 \frac{p （ 1 - p ）}{n [f （ F^{- 1} （ p ） ）]^{2}} ）

$X_{(\lceil np \rceil)} \sim AN\left(F^{-1}(p),\frac{p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p))]^2}\right)$

COOLSerdashがコメントで言及しているように、John Fox [1]は35〜36ページに次のように書いています。

順序統計の標準誤差はここで、はCDF対応する確率密度関数です。線に沿った値は、与えられます。したがって、近似線の約95％の信頼度「エンベロープ」は、です。 $X_{(i)}$
$S E （ {バツ}_{（私）} ） = \frac{\hat{σ}}{p （ z_{私} ）} \sqrt{\frac{P_{私} （ 1 - P_{私} ）}{n}}$ $\mathrm{SE}(X_{(i)})=\frac{\hat{\sigma}}{p(z_i)}\sqrt{\frac{P_i(1-P_i)}{n}}$ $p(z)$ $P(z)$ $\widehat{X}_{(i)}=\hat{\mu}+\hat{\sigma}z_{i}$ $\widehat{X}_{(i)}\pm 2\times \mathrm{SE}(X_{(i)})$

次に、がによって推定されることを認識する必要があります。 $f(F^{-1}(p))$ $(p(z_i)/\hat{\sigma})$

[1] Fox、J.（2008）、
Applied Regression Analysis and Generalized Linear Models、2nd Ed。、
Sage Publications、Inc

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース