ガウス分布の

この質問は、次の質問から続いています。 /math/360275/e1-1x2-under-a-normal-distribution

基本的に、一般的なガウス下でのは何。をガウスのスカラー混合として書き直してみました（）。これはまた、皆さんがあなたのベルトの下にトリックを持っているのでない限り、止まりました。 $E\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$ $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ $\frac{1}{1+x^2}$ $\propto \int\mathcal{N}(x|0,\tau^{-1})Ga(\tau|1/2,1/2)d\tau$

この積分が分析的でない場合、賢明な範囲はありますか？

normal-distribution expected-value bounds

— Sachinruk
ソース

リンクした質問と同じことができないのはなぜですか？（これは分析ではないことを意味します（いくつかの定数でerfcと評価されるため）

— seanv507

私は彼が完全にやったことをフォローしないからです。また、erfcは問題あり

— ません

回答:

みよう正常です PDFおよびは1つのdfを持つスチューデントt分布のPDFであるため通常のPDF変数で（対称性により）、期待等しいです $f_\sigma(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)$ $(0,\sigma)$ $g(x) = \frac{1}{\pi}\left(1+x^2\right)^{-1}$ $(\mu,\sigma)$ $X$ $f_\sigma(x-\mu) = f_\sigma(\mu-x)$

E_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = E_{σ, μ} (π g (X)) = \int_{R} f_{σ} ((μ - x)^{2}) π g (x) d x .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\pi g(X)\right) = \int_\mathbb{R} f_\sigma\left((\mu-x)^2\right) \pi g(x)dx.$

これは、畳み込みの定義式です。フーリエ解析の最も基本的な結果は、畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の積であるということです。さらに、特性関数（cf）はPDFの（適切な倍数まで）フーリエ変換です。通常のCF 分布があります $(f\star \pi g)(\mu)$ $(0,\sigma)$

{\hat{f}}_{σ} (t) = \exp (- t^{2} σ^{2} / 2)

$\widehat{f}_\sigma(t) = \exp(-t^2\sigma^2/2)$

そして、このスチューデントのt分布のCFがあります

\hat{g} (t) = \exp (- | t |) .

$\widehat{g}(t) = \exp(-|t|).$

（どちらも基本的な方法で取得できます。）でのそれらの積の逆フーリエ変換の値は、定義により、 $\mu$

\frac{1}{2 π} \int_{R} {\hat{f}}_{σ} (t) π \hat{g} (t) \exp (- i t μ) d t = \frac{1}{2} \int_{R} \exp (- t^{2} σ^{2} / 2 - | t | - i t μ) d t .

$\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} \widehat{f}_\sigma(t)\pi\widehat{g}(t) \exp(-i t \mu) dt =\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} \exp(-t^2\sigma^2/2-|t|-i t \mu) dt.$

その計算は初歩的なものです。単純化するために、間隔と別々に実行してくださいそれぞれとにし、毎回正方形を完成させます。通常のCDFに似た積分が得られますが、引数は複雑です。ソリューションを作成する1つの方法は、 $(-\infty,0]$ $[0,\infty)$ $|t|$ $-t$ $t$

E_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \frac{\sqrt{\frac{π}{2}} e^{- \frac{(μ + i)^{2}}{2 σ^{2}}} (e^{\frac{2 i μ}{σ^{2}}} erfc (\frac{1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) - erf (\frac{- 1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) + 1)}{2 σ} .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{-\frac{(\mu +i)^2}{2 \sigma ^2}} \left(e^{\frac{2 i \mu }{\sigma ^2}} \text{erfc}\left(\frac{1+i \mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)-\text{erf}\left(\frac{-1+i\mu}{\sqrt{2} \sigma }\right)+1\right)}{2 \sigma }.$

ここで、は相補誤差関数で、 $\text{erfc}(z) = 1 - \text{erf}(z)$

erf (z) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{z} \exp (- t^{2}) d t .

$\text{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z \exp(-t^2)dt.$

特殊なケースはで、この式は $\mu=0, \sigma=1$

E_{1, 0} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \sqrt{\frac{e π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0.65567954241879847154 \dots .

$\mathbb{E}_{1, 0}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.65567954241879847154\ldots.$

これは（対数軸上）の等高線図です。 $\mathbb{E}_{\sigma,\mu}$ $\sigma$

— whuber
ソース

+1。小さなメモ：は、@と一致する等しいfabeeの数値解。

\sqrt{\frac{e π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}})

$\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

0.6556795424 \dots

$0.6556795424\ldots$

— COOLSerdash 14

いいね。これがガウス分布とt分布変数の合計の密度であることを完全に逃しました（正規化まで）。+1は、任意のおよびの一般式を導き出します。

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— fabee 14

@COOLありがとう-間違った答えをコピーしました。（私はいくつかの数値計算を行いました;私が誤って報告したのは実際にはに対するものでした。）私は正しいものに貼り付けます。

μ = 1, σ = 1 / 2

$\mu=1,\sigma=1/2$

— whuber

これは、 Did hereによって提案されたアイデンティティを使用してそれを解決する方法です。あなたは使うことができます

\frac{1}{S} = \int_{0}^{\infty} \exp (- t S) d t

$\frac{1}{S}=\int_0^\infty \exp(-tS)dt$

\begin{aligned} E (\frac{1}{x^{2} + 1}) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- t (x^{2} + 1)) \exp (- \frac{x^{2}}{2}) d x d t \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- t) {(1 + 2 t)}^{- \frac{1}{2}} d t \\ = \sqrt{\frac{e π}{2}} {[erf (\sqrt{t + \frac{1}{2}})]}_{0}^{\infty} \\ = \sqrt{\frac{e π}{2}} (1 - erf (\sqrt{\frac{1}{2}})) \end{aligned}

$\begin{align}E\left(\frac{1}{x^2+1}\right) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-t(x^2+1)\right)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm dx \mathrm dt\\ &=\int_0^\infty \exp\left(-t\right)\left(1+2t\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm dt\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left[\mbox{erf}\left(\sqrt{t+\frac{1}{2}}\right)\right]_0^\infty\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left(1-\mbox{erf}\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\end{align}$

— ファビー
ソース

+1アプローチのため。しかし、の因数は結果には含まれないと思います。

1 / \sqrt{2 π}

$1/\sqrt{2\pi}$

— whuber

これは、ガウス分布の正規化定数です（期待値による）。だから、私が何かを逃していない限り、それはそこに属していると思います。

\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$

— fabee 14

エラー関数をガウスCDFと融合させました。これらは同じではありません。数値計算を試してください。エラーが表示されます。

— whuber

あなたは正しいです、因子は間違っていました。しかし、それはエラー関数を使用する前に起こりました。 wrtの期待値を計算し、後で正規化定数を削除するのを忘れました。ヒントをありがとう。

\exp (- t x^{2})

$\exp(-t x^2)$

x

$x$

— fabee