2つのポアソン確率変数の比率の分布は何ですか？

ランダム変数に関する質問があります。2つのランダム変数とがあると仮定しましょう。さんが言ってみましょうポアソンのパラメータと一緒に配布され、およびポアソンのパラメータと一緒に配布されている。 $X$ $Y$ $X$ $\lambda_1$ $Y$ $\lambda_2$

から骨折を構築し、これをランダム変数と呼ぶと、これはどのように分布し、平均はどうなりますか？それは？ $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution

— マークドル
ソース

参考文献を探しているときに偶然これに出くわしました。ポアソン比の推論は、頻度の高い人（ネルソン、1970、「2つのポアソン平均とポアソン予測子の区間の信頼区間」）とベイジアン（Lindley、1965）にとって非常に簡単です。分母がゼロでも問題ありません！

— フランクチュイル14年

元の質問者などは、に期待値があることに注意することに興味があるかもしれません。アプリケーションによっては、これはよりも使いやすい場合があります。詳細については、分析アトミック分析、雑誌で私の論文を参照のために28 10.1039 / C2JA10205F：/ DOIのw「同位体比の統計的バイアス」と呼ばれる、52、。

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

これは天文学で頻繁に遭遇する問題です。ベイズの解決策は、パークらによって解決されました。（2006、Astrophysical Journal、v652、610-628、Bayesian Evaluation of Hardness Ratios ：Modeling and Computations）。彼らは彼らの治療にバックグラウンド汚染を含みます。

— user78543

要約から、彼らがOPの質問を扱っていることは明らかではありません。この論文は、2つのポアソン確率変数の比率の分布とどのように関係していますか？

— アンディ

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/...

— HalvorsenのはKjetil B

回答:

あなたはそれで問題を抱えていると思います。変数Yにはゼロがあるため、X / Yには未定義の値があり、分布が得られません。

— bill_080
ソース

+1そうです。しかし（混乱を避けるために）問題は、

が

等しく

ということだけではありません。つまり、正の確率で

等しく

ということです。 （たとえば、分母が

等しくても、正規分布の商には分布があります。）したがって、

は正の確率で未定義であり、その平均（およびその他の瞬間）も未定義になります。

Y

$Y$

0

$0$

0

$0$

0

$0$

X / Y

$X/Y$

— whuber

1が、偽発見率に関する文献の人々はと何の問題もない

真陽性で、

陽性の合計数です:-)。慣例により、0のうち0は0に等しいことが常に理解されています。

X / Y

$X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

— NRH11年

@マーク：おそらくそれを新しい質問として尋ね、達成しようとしていることについて具体的な情報を得ることをお勧めします。

— -bill_080

@NRHあなたのケースでは、

が

強く依存しています。これは、物事を完全に変更します。なぜなら、正とゼロの比率の確率はゼロだからです。

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@whuber、それはもちろん正しい。それを指摘してくれてありがとう。私は、問題を意味のあるものにするための陳述されていない慣習があるかもしれないと考えていました。しかし、上記の@MarkDollarのコメントから、そもそもそうではなかったようです。

— -NRH

比率が実際に明確に定義された測定可能なセットではないことを認識することにより、比率を適切に測定可能なセットとして再定義します総和が限り、以下の、そして及び独立ポアソン変数です。密度は、ラドン・ナイコダイムの定理から得られます。

P [\frac{バツ}{Y} \leq r] ：= P [バツ \leq r Y] = \sum_{y = 0}^{\infty} \sum_{バツ = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y ！} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{バツ}}{バツ ！} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$

r > 0

$r > 0$

X

$X$

Y

$Y$

— アーロン・シェルドン
ソース

がゼロ切り捨てポアソン分布に由来すると仮定します。答えは次のようになります

Y

$Y$

— 生意気な均衡