Rを使用して時間依存の共変量を持つ生存データを生成する方法

時間依存の共変量を含むCox比例ハザードモデルから生存時間を生成したい。モデルは

$h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i + \alpha m_{i}(t))$

ここで、はBinomial（1,0.5）およびます。$X_i$$m_{i}(t)=\beta_0 + \beta_1 X_{i} + \beta_2 X_{i} t$

真のパラメータ値は、として使用されます$\gamma = 1.5, \beta_0 = 0, \beta_1 = -1, \beta_2 = -1.5, h_0(t) = 1$

時間に依存しない共変量（つまり、、次のように生成しました$h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i)$

#For time independent case
# h_0(t) = 1
gamma <- -1
u <- runif(n=100,min=0,max=1)
Xi <- rbinom(n=100,size=1,prob=0.5)
T <- -log(u)/exp(gamma*Xi)

時変共変量で生存データを生成するのを手伝ってくれる人はいますか？

ベースラインハザードの指数分布（一定のハザード）を想定しているRコードからOK。したがって、危険関数は次のとおりです。

$$h\left(t \mid X_i\right) = \begin{cases} \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i = 0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 t\right)\right)} & \text{if $X_i = 1$.} \end{cases}$$

次に、これらをに関して積分して、累積ハザード関数を取得します。$t$

$$\begin{align} \Lambda\left(t\mid X_i\right) &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \int_0^t{\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 \tau\right)\right)} \,d\tau} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \\ &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right) & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$$

これらはその後、生存関数を与えます：

$$\begin{align} S\left(t\right) &= \exp{\left(-\Lambda\left(t\right)\right)} \\ &= \begin{cases} \exp{\left(-t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)}\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(-\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right)\right)} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$$

次に、とサンプリングし、をに置き換え、適切な式（基づくを再配置してをシミュレートすることにより生成します。これは単純な代数であり、Rでコーディングできますが、さらにヘルプが必要な場合はコメントでお知らせください。 U 〜U N I F O R M （0 、1 ） U S （T ）X I$X_i$$U\sim\mathrm{Uniform\left(0,1\right)}$$U$$S\left(t\right)$$X_i$$t$