標準偏差は非正規分布で何を教えてくれますか

正規分布では、68-95-99.7ルールは標準偏差に多くの意味を与えますが、非正規分布（マルチモーダルまたはスキュー）で標準偏差は何を意味しますか？すべてのデータ値はまだ3標準偏差内に収まりますか？非正規分布用の68-95-99.7のようなルールはありますか？

標準偏差は、変動の特定の尺度です。他にもいくつかありますが、平均絶対偏差はかなり一般的です。標準偏差は決して特別なものではありません。特別に見えるのは、ガウス分布が特別だからです。

コメントで指摘したように、チェビシェフの不等式は感情をつかむのに役立ちます。しかし、もっとあります。

これは、2番目の中心モーメントの平方根、分散です。モーメントは、確率分布を定義するという理由で特性と呼ばれる特性関数（CF）に関連しています。したがって、すべての瞬間を知っていれば、CFを知っているので、確率分布全体を知っています。

正規分布の特性関数は、平均と分散（または標準偏差）の2つのモーメントで定義されます。したがって、正規分布では標準偏差が特に重要であり、ある意味では定義の50％です。

他の分布の場合、他のモーメントがあるため、標準偏差はいくつかの点でそれほど重要ではありません。ただし、実際に使用される多くの分布では、最初のいくつかの瞬間が最大であるため、知る必要がある最も重要な瞬間です。

直感的に、平均は分布の中心がどこにあるかを示し、標準偏差はデータがこの中心にどれだけ近いかを示します。

標準偏差は変数の単位であるため、尖度などの尺度を取得するために他のモーメントをスケーリングするためにも使用されます。尖度は無次元のメトリックで、正規分布と比較して分布の裾がどの程度脂肪であるかを示します

サンプル標準偏差は、データを測定するのと同じ単位で、平均値からの観測値の偏差の尺度です。正規分布かどうか。