2つの標準化された平均差の差に対する効果サイズと標準誤差の計算

関連する質問が2つあります。どちらも、私が行っているメタ分析に関連しています。ここで、主要な結果は標準化された平均差で表されます。

私の研究には、標準化された平均差を計算するために使用できる複数の変数があります。1つの変数で計算された標準化された平均差が、他の変数の標準化された平均差とどの程度一致しているかを知りたいのですが。私の考えでは、この質問は、2組の標準化された平均差の違いに関するメタ分析として表現できます。ただし、同じ研究内の2つの標準化された平均差の差の効果サイズとサンプリング誤差を決定するのに問題があります。

別の方法で私の問題を表現するために、グループとと結果変数とた2条件の検討を考えてみ。これら2つの結果変数は、として相関しています。とにわたると標準化された平均差を計算して、、、およびそれらのサンプリング分散とます。以下の状況の非常に単純な図を含めました。 $g_1$ $g_2$ $var_1$ $var_2$ $cor(var_1, var_2)$ $var_1$ $var_2$ $g_1$ $g_2$ $d_{var1}$ $d_{var_2}$ $v_{d_{var_1}}$ $v_{d_{var_2}}$

ここに画像の説明を入力してください

とをとして計算するとします。との標準化された平均差をとして計算できます。これにはサンプリング分散ます。 $var_1$ $var_2$ $diff$ $g_1$ $g_2$ $d_{diff}$ $v_{d_{diff}}$

私がやりたいのは、とを次の変数で表現することです。 $d_{diff}$ $v_{d_{diff}}$

効果サイズおよび、 $d_{var_1}$ $d_{var_2}$
標本分散および、および $v_{d_{var_1}}$ $v_{d_{var_2}}$
相関 $cor(var_1, var_2)$

この目標は、単純な（非メタ分析）コンテキストにおいて、差の標準偏差、という事実所与可能でなければならないような気がとように与えられます。 $var_1$ $var_2$

$sd(var_1)^2 + sd(var_2)^2 - 2 * cor(var_1, var_2) * sd(var_1) * sd(var_2)$

また、3つ（またはそれ以上）のグループでの研究があり、2つの候補変数間の標準化された平均差の2つのセットを計算する、少し複雑な状況にも興味があります。

この2番目の質問を別の方法で表現するために、特定の研究に3つのグループ、、およびと2つの結果変数およびとます。さらに、もう一度とがとして関連付けられていると仮定します。 $g_1$ $g_2$ $g_3$ $var_1$ $var_2$ $var_1$ $var_2$ $cor(var_1, var_2)$

参照グループとしてグループを選択し、については、グループ vsおよび vs効果サイズを計算します。これは、のそれぞれに対して効果量の二組をもたらすと -用、とと、のため、および。これにより、エフェクトサイズのセットごとに2つのサンプリング分散も生成されます（、および $g_1$ $var_1$ $g_1$ $g_2$ $g_1$ $g_3$ $var_1$ $var_2$ $var_1$ $d_{var1_{g_1 - g_2}}$ $d_{var1_{g_1 - g_3}}$ $var_2$ $d_{var2_{g_1 - g_2}}$ $d_{var2_{g_1 - g_3}}$ $var_1$ $v_{d_{var1_{g_1 - g_2}}}$ $v_{d_{var1_{g_1 - g_3}}}$ 、および場合、と）およびそれぞれに1つのサンプリング共分散変数（、、および場合、）。以下の状況の非常に単純な図を含めました。 $var_2$ $v_{d_{var2_{g_1 - g_2}}}$ $v_{d_{var2_{g_1 - g_3}}}$ $var_1$ $cov(d_{var1_{g_1 - g_2}}, d_{var1_{g_1 - g_3}})$ $var_2$ $cov(d_{var2_{g_1 - g_2}}, d_{var2_{g_1 - g_3}})$

ここに画像の説明を入力してください

ここでも、と間に差分スコアを作成して、を生成できます。私は、その後の比較のために標準化平均差を計算し、上記のように、この差スコアに効果サイズの二組を計算することができると（降伏）との間の比較のための標準化平均差および（。もちろん、この手順では、対応するサンプリング分散と共分散も生成されます。 $var_1$ $var_2$ $diff$ $g_1$ $g_2$ $d_{diff_{g_1 - g_2}}$ $g_1$ $g_3$ $d_{diff_{g_1 - g_3}})$

私が望むのは、の効果サイズ、サンプリング分散、およびサンプリング共分散を次の観点から表現することです。 $diff$

エフェクトサイズ、、、および $d_{var1_{g_1 - g_2}}$ $d_{var1_{g_1 - g_3}}$ $d_{var2_{g_1 - g_2}}$ $d_{var2_{g_1 - g_3}}$
サンプリング分散、、、および、 $v_{d_{var1_{g_1 - g_2}}}$ $v_{d_{var1_{g_1 - g_3}}}$ $v_{d_{var2_{g_1 - g_2}}}$ $v_{d_{var2_{g_1 - g_3}}}$
サンプリング共分散および、および $cov(d_{var1_{g_1 - g_2}}, d_{var1_{g_1 - g_3}})$ $cov(d_{var2_{g_1 - g_2}}, d_{var2_{g_1 - g_3}})$
相関 $cor(var_1, var_2)$

繰り返しますが、、、および指定すると、と間の差スコアの標準偏差を計算できるという事実を考えると、私の目標は実現可能であるはずです。 $var_1$ $var_2$ $sd(var_1)$ $sd(var_2)$ $cor(var_1, var_2)$

私の質問は少し複雑だと思いますが、少し賢い代数を与えられれば答えられると思います。質問や表記を明確にできるかどうかをお知らせください。

standard-error meta-analysis effect-size

— パトリック・S・フォルシャー
ソース

回答:

私は確かにあなたの質問の最初の部分に答えを与えることができます。

表記法を使用して、とが2つの異なる従属変数に基づく2つのd値（同じ2つのグループについて計算された）を示し、とが対応するサンプリング分散を示すとしましょう。通常、次のように計算/推定されます：およびここでとは2つのグループですサイズ。 $d_{var_1}$ $d_{var_2}$ $v_{var_1}$ $v_{var_2}$

v_{v a r_{1}} = \frac{1}{ん_{1}} + \frac{1}{ん_{2}} + \frac{d_{v a r_{1}}^{2}}{2 （ ん_{1} + ん_{2} ）}

$v_{var_1} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{d_{var_1}^2}{2(n_1 + n_2)}$

v_{v a r_{2}} = \frac{1}{ん_{1}} + \frac{1}{ん_{2}} + \frac{d_{v a r_{2}}^{2}}{2 （ ん_{1} + ん_{2} ）} 、

$v_{var_2} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{d_{var_2}^2}{2(n_1 + n_2)},$

n_{1}

$n_1$

n_{2}

$n_2$

が2つの変数間の相関を表すとしましょう。次に、2つのd値間の共分散を次のように推定できます：研究の合成とメタ分析のハンドブック（第2版）のGleserとOlkin（2009）による確率依存効果のサイズに関する章の式（19.27）を参照してください。 $r = cor(var_1, var_2)$

c o v （ d_{v a r_{1}} 、 d_{v a r_{2}} ） = （ \frac{1}{ん_{1}} + \frac{1}{ん_{2}} ） r + （ \frac{d_{v a r_{1}} d_{v a r_{2}}}{2 （ ん_{1} + ん_{2} ）} ） r^{2} 。

$cov(d_{var_1}, d_{var_2}) = \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)r + \left(\frac{d_{var_1}d_{var_2}}{2(n_1 + n_2)} \right)r^2.$

したがって、のサンプリング分散は、で計算/推定できます。

d_{d 私 f f} = d_{v a r_{1}} - d_{v a r_{2}}

$d_{diff} = d_{var_1} - d_{var_2}$

v_{d_{d 私 f f}} = v_{v a r_{1}} + v_{v a r_{2}} - 2 c o v （ d_{v a r_{1}} 、 d_{v a r_{2}} ） 。

$v_{d_{diff}} = v_{var_1} + v_{var_2} - 2 cov(d_{var_1}, d_{var_2}).$

GleserとOlkinの章でも、2番目の質問に部分的に取り組んでいます。基本的に、著者は「複数処理研究」と呼んでいるものがあり、その場合も共分散の方程式を提供します（相関変数の期待を参照）。ただし、実際のケースは「複数の処理」と「複数のエンドポイント」のケースの組み合わせです。必要な共分散方程式を導出するには、追加の作業が必要になります。

— ヴォルフガング
ソース

それはケースがあることもある単に -、又はでありによっても影響を受け、この量？

d_{d i f f}

$d_{diff}$

d_{v a r_{1}}

$d_{var_1}$

d_{v a r_{2}}

$d_{var_2}$

c o r (v a r_{1}, v a r_{2})

$cor(var_1, var_2)$

— Patrick S. Forscher 14

はい、違いを見てください。相関関係は、サンプリング分散の計算にのみ関連しています。

d_{d i f f}

$d_{diff}$

— Wolfgang

すごい！たまたま、私の2番目の質問を解決するためにどのようなアプローチをとることができるか、知っていますか？グレッサーとオルキンから、と間の共分散がですが、この情報を使用して 2つの効果サイズ間の共分散を取得する方法はわかりません。

d_{g_{1} - g_{2}}

$d_{g_1 - g_2}$

d_{g_{1} - g_{3}}

$d_{g_1 - g_3}$

1 / n_{g_{1}} + (d_{g_{1} - g_{2}} * d_{g_{1} - g_{3}}) / (2 * (n_{g_{1}} + n_{g_{2}} + n_{g_{3}}))

$1/n_{g_1} + (d_{g_1 - g_2} * d_{g_1 - g_3}) / (2 * (n_{g_1} + n_{g_2} + n_{g_3}))$

d_{d i f f}

$d_{diff}$

— Patrick S. Forscher 14

完全な解決策がわからない場合は、この問題をどのように調査するかについておおまかに考えてください。

— Patrick S. Forscher、2014

これらの共分散の導出に戻り、2つのケース（複数のグループと複数のエンドポイント）を一般化/結合できるかどうかを確認する必要があります。複数のエンドポイントのケースの共分散をどのようにして導出できるかについての簡単なスケッチは、Rosenthal and Rubin（1986）の付録にあります。複数グループのケースをカバーするリファレンスは知りません。

— Wolfgang

この質問は、構造方程式モデリング（SEM）アプローチを使用して回答できます。効果のサイズが、平均、相関、標準偏差などのパラメーターの関数である限り、これを使用できます。サンプリング共分散行列は、SEMで自動的にDeltaメソッドを使用して数値的に導出されます。Cheung（2015）の第3章では、このアプローチの概要と例を示しています。

本で使用されている例の1つは、複数治療の複数エンドポイント研究です。Rの構文と出力を次に示します。

###################################################
### code chunk number 8: ME_MT
###################################################

## Load the library for SEM
library(lavaan)

## Covariance matrix of the control group for variables 1 and 2
lower <- '11          
          5, 10'
## Convert a lower triangle data into a covariance matrix
Cov1 <- getCov(lower, diag=TRUE, names=c("x1", "x2"))

## Covariance matrix of the treatment group 1 for variables 1 and 2
lower <- '12          
          6, 11'
Cov2 <- getCov(lower, diag=TRUE, names=c("x1", "x2"))

## Covariance matrix of the treatment group 2 for variables 1 and 2
lower <- '13          
          7, 12'
Cov3 <- getCov(lower, diag=TRUE, names=c("x1", "x2"))

## Convert covariance matrices into a list
Cov <- list(Cov1, Cov2, Cov3)

## Means for the three groups
## 10 and 11 are the means for variables 1 and 2
Mean <- list(c(10,11), c(12,13), c(13,14))

## Sample sizes for the groups
N <- c(50, 50, 50)

## Assuming homogeneity of covariance matrices
## You can free this constraint by using different labels
model5 <- 'eta1 =~ c("sd1", "sd1", "sd1")*x1
           eta2 =~ c("sd2", "sd2", "sd2")*x2
           eta1 ~~ c("r", "r", "r")*eta2
           ## The subscripts 0, 1 and 2 represent the means
           ##  of the control and two  treatment groups
           x1 ~ c("m1_0", "m1_1", "m1_2")*1
           x2 ~ c("m2_0", "m2_1", "m2_2")*1
           ## The measurement errors are fixed at 0
           x1 ~~ 0*x1
           x2 ~~ 0*x2
           ## Multiple endpoint effect size 1 for treatment group 1
           ES1_1 := (m1_1 - m1_0)/sd1
           ## Multiple endpoint effect size 2 for treatment group 1
           ES2_1 := (m2_1 - m2_0)/sd2
           ## Multiple endpoint effect size 1 for treatment group 2
           ES1_2 := (m1_2 - m1_0)/sd1
           ## Multiple endpoint effect size 2 for treatment group 2
           ES2_2 := (m2_2 - m2_0)/sd2'

fit5 <- sem(model5, sample.cov=Cov, sample.mean=Mean, 
            sample.nobs=N, std.lv=TRUE, 
            sample.cov.rescale=FALSE)

## Obtain the free parameters in the model
( x <- fit5@Fit@x )

## [1]  3.464102  3.316625  0.522233 10.000000 11.000000 12.000000 13.000000
## [8] 13.000000 14.000000    

## Obtain the sampling covariance matrix of the parameter estimates
VCOV <- vcov(fit5)

## Compute the multivariate effect sizes
( ES <- fit5@Model@def.function(x=x) )
##     ES1_1     ES2_1     ES1_2     ES2_2 
## 0.5773503 0.6030227 0.8660254 0.9045340

## Compute the jacobian for 'defined parameters'
JAC <- lavaan:::lavJacobianD(func=fit5@Model@def.function, x=x)

## Compute the sampling covariance matrix using delta method
ES.VCOV <- JAC %*% VCOV %*% t(JAC)

## Add the variable names for ease of reference
dimnames(ES.VCOV) <- list(names(ES), names(ES))

ES.VCOV
##            ES1_1      ES2_1      ES1_2      ES2_2
## ES1_1 0.04111111 0.02120582 0.02166667 0.01091942
## ES2_1 0.02120582 0.04121212 0.01091942 0.02181818
## ES1_2 0.02166667 0.01091942 0.04250000 0.02160145
## ES2_2 0.01091942 0.02181818 0.02160145 0.04272727

この例では、効果サイズの推定ベクトルは、それらのサンプリング共分散行列がそれぞれESおよびES.VCOVです。ES1_1およびES2_1は、コントロールグループと比較したグループ1の効果サイズであり、ES1_2およびES2_2は、コントロールグループと比較したグループ2の効果サイズです。

参照

チャン、MW-L。（2015）。メタ分析：構造方程式モデリングアプローチ。ウエストサセックスのチチェスター：John Wiley＆Sons、Inc.

— マイク・チャン
ソース

この興味深いアプローチを共有してくれてありがとう！私は次の行を実行しようとすると：( ES <- fit5@Model@def.function(x=x) )とJAC <- lavaan:::lavJacobianD(func=fit5@Model@def.function, x=x)私はエラーましx存在しませんが。

— Patrick S. Forscher、2015年

また、あなたの例では、仕事に、このアプローチのために、私は間の相関/共分散を知る必要があり、ことを示唆しているようだvar1とvar2内をg1、g2とg3。これは事実ですか？通常、私が取り組んでいる研究では、全体的な相関関係（、、および全体g1で崩壊）のみが報告されます。g2g3

— Patrick S. Forscher、2015年

v a r_{1}

$var_1$

v a r_{2}

$var_2$

d_{v a r_{1}}

$d_{var_1}$

d_{v a r_{2}}

$d_{var_2}$

ありがとう、パトリック。不足している行を追加しました：（x <-fit5 @ Fit @ x）。効果サイズは平均、分散、および共分散の関数であるため、このアプローチにはこれらの要素が必要です。これらの要素の一部が利用できない場合は、他のアプローチを理解する必要があるかもしれません...

— Mike Cheung

こんにちはマイク、私はあなたがまだこのスレッドをフォローしていることを望みます。私はあなたのアプローチに興味があったので、2つの変数（以下のコメントに貼り付けられたコード）でいくつかの3グループデータをシミュレートしてみました。あなたのアプローチをいくつかの手動計算と比較したところ、効果サイズは同じですが、効果サイズのサンプリングエラーが異なりました。私が知る限り、私はあなたのコードとサンプリング分散の正しい式を使用しています。何が起こっているのでしょうか？

— Patrick S. Forscher、2015

このソリューションがどのようにして派生したかは完全にはわかりませんが、他の人が評価できるようにとにかく投稿すると思います。この情報は、@ Wolfgangによって提供された回答のコメントに埋め込むのではなく、完全な回答として投稿する価値があると私は思いました。

$g_1$ $g_2$ $g_3$ $g_1$ $g_2$ $g_3$

c o v （ d_{d 私 f f_{g_{1} - g_{2}}} 、 d_{d 私 f f_{g_{1} - g_{３}}} ） = \frac{r}{ん_{1}} + \frac{d_{d 私 f f_{g_{1} - g_{2}}} * d_{d 私 f f_{g_{1} - g_{３}}} * r^{2}}{（ 2 * （ ん_{1} + ん_{2} + ん_{３} ） ）}

$cov(d_{diff_{g_1 - g_2}}, d_{diff_{g_1 - g_3}}) = \frac{r}{n_1} + \frac{d_{diff_{g_1 - g_2}} * d_{diff_{g_1 - g_3}} * r^2}{(2 * (n_1 + n_2 + n_3))}$

繰り返しますが、このソリューションがどのようにして派生したのかは完全にはわかりません。他の人が提供できる洞察に感謝します。

— パトリック・S・フォルシャー
ソース