ランダム変数が関数として定義されているのはなぜですか？

関数としてのランダム変数の概念を理解するのに問題があります。私はメカニズムを理解しています（私は思う）が、動機を理解していません...

セイここで、三重確率である、 Borel-あるその間隔とに-代数正規ルベーグ測度です。LETから確率変数であるへように、、...、であるため、は1から6までの値に離散的な一様分布を持ちます。 $(\Omega, B, P)$ $\Omega = [0,1]$ $B$ $\sigma$ $P$ $X$ $B$ $\{1,2,3,4,5,6\}$ $X([0,1/6)) = 1$ $X([1/6,2/6)) = 2$ $X([5/6,1]) = 6$ $X$

私たちは直接として何か相当を構築している可能性が...それはすべて良いことだが、私は、トリプル、元の確率の必要性を理解していないどこは、空間の適切な代数であり、は、各サブセットにメジャー（要素数）/ 6を割り当てるメジャーです。また、の選択は任意でした、またはその他のセットである可能性があります。 $(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$ $S$ $\sigma$ $P_x$ $\Omega=[0,1]$ $[0,2]$

だから私の質問は、なぜ代数とメジャーで任意の $\Omega$ を構築し、代数から実線へのマップとしてランダム変数を定義するのですか？ $\sigma$ $\sigma$

probability random-variable measure-theory

— レオ・バスケス
ソース

ランダム変数は、

から

ではなく、

Ω

$\Omega$ から

の関数であることに注意してください。要件は、ランダム変数が

に関して測定可能であることです。

R

$\mathbb{R}$

B

$\mathcal{B}$

R

$R$

B

$\mathcal{B}$

— mpiktas

回答:

はるかに単純なもので十分な場合に、このすべての機械が使用される理由を疑問に思っている場合は、ほとんどの一般的な状況で正しいです。ただし、確率の測定理論バージョンは、場合によっては非常に抽象的な複雑な確率空間を処理できるような一般性の理論を確立する目的で、コルモゴロフによって開発されました。実際、コルモゴロフの確率の測定理論的基礎により、最終的には、元の意図した適用領域をはるかに超えて、調和解析などの領域に確率的ツールを適用できました。

最初に、「基礎となる」 -algebraをスキップし、提案したように、サンプル空間を構成するイベントに確率質量を直接割り当てる方が簡単です。実際、確率論者は、定義されたサンプル空間で「誘導測定」を使用することを選択するたびに、同じことを効果的に行います。ただし、無限の次元空間に入ると、物事はトリッキーになり始めます。公正なコインをフリップする特定のケースについて、大きな数の強い法則を証明したいとします（つまり、コインフリップの数が無限になると、ヘッドの割合は任意に1/2に近づく傾向があります）。構築を試みることができます $\sigma$ $\Omega$ $P \circ X^{-1}$ $\sigma$ -の形式の無限シーケンスのセット上の代数。しかし、ここでは、基礎となるスペースをとする方がはるかに便利であることがわかります。次に、実数のバイナリ表現（）を使用して、コインフリップのシーケンスを表します（1はヘッド、0はテール）。この例は、ビリングスリーの確率の最初の数章で説明されています。測定します。 $(H,T,H,...)$ $\Omega = [0,1)$ $0.10100...$

— charles.y.zheng
ソース

ありがとう！その本をチェックします。ただし、はまだ任意であるため（ません、単位間隔またははすべてで機能する「優先」スペースです状況？または、ようなより複雑なが有益な状況がありますか？

Ω

$\Omega$

[0, 2)

$[0,2)$

[0, 1]

$[0,1]$

[0, 1)

$[0,1)$

Ω

$\Omega$

R^{2}

$R^2$

— レオ・バスケス

@レオ：はい。連続時間の確率的プロセスが例を示します。標準的な例はブラウン運動です。サンプル空間はであり、すべての連続実数値関数の空間です。

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— 枢機

@NRH、はい、取られるのではなく取れると言ったはずです。私は（多少意図的に）それをじゅうたんの下で磨こうとしました。

— 枢機

@ cardinal、@ Leoのコメントで、がすべての状況で「優先」されるかどうかが尋ねられました。IMOにはそのようなはなく、一般的にについて何も要求しないことが有益であると言っています。特定の例を使用する場合、特定のを選択する理由があります。ただし、「トートロジー」は、確率測度としてのブラウン運動の存在を確立する必要があるという敷物の下にあることに注意してください。

[0, 1]

$[0,1]$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— -NRH

@NRH、今日の私の心の遅さについて申し訳ありません。私は優先参照を@Leoの以前のコメントに結びつけることができませんでした。ありがとう。「トートロジー」の発言に関して、他の構成では、サンプルパスの連続性が定理であるのに対して、アイデンティティマップを使用したベースの構成ではトートロジーであるという点がポイントでした。もちろん、BMをこの方法で構築できるという事実を最初に示す必要があります。しかし、それはポイントの少し横にあります。

C

$\mathcal{C}$

— 枢機

代数に関する問題は数学的な微妙なものであり、背景空間が必要な理由や必要性を実際には説明していません。確かに、背景空間が必要であるという説得力のある証拠はないと言えます。がサンプル空間、が代数、確率測度である確率設定場合、関心はにあり、を測定可能なマップ画像測定値にしたいという抽象的な理由はありません。 $\sigma$ $(E, \mathbb{E}, \mu)$ $E$ $\mathbb{E}$ $\sigma$ $\mu$ $\mu$ $\mu$ $X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

ただし、抽象的な背景空間を使用すると、多くの結果がより自然で直感的に見える数学的な利便性が得られます。目的は常にの分布であるについて何かを言うことですが、に関してはより簡単で、より明確に表現されるかもしれません。 $\mu$ $X$ $X$

例は中心極限定理によって与えられます。場合 IID実際の平均で評価される及び分散 CLTと言うここで、は標準正規分布の分布関数です。の分布が、対応する測定結果は、用語の説明が必要です。は $X_1, \ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma^2$

P (\frac{\sqrt{n}}{σ} (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - ξ) \leq x) \to Φ (x)

$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$

Φ

$\Phi$

X_{i}

$X_i$

μ

$\mu$

ρ_{\sqrt{n} / σ} \circ τ_{ξ} \circ ρ_{1 / n} (μ^{* n}) ((- \infty, x]) \to Φ (x)

$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$

μ^{* n}

$\mu^{*n}$

n

$n$ 畳み込み（合計の分布）。関数は線形関数あり、は変換です。おそらく、2番目の定式化に慣れることができますが、それが何であるかを隠すのに良い仕事をします。

μ

$\mu$

ρ_{c}

$\rho_c$

ρ_{c} (x) = c x

$\rho_c(x) = cx$

τ_{ξ}

$\tau_{\xi}$

τ_{ξ} (x) = x - ξ

$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

問題と思われるのは、CLTに関係する算術変換がランダム変数の観点から非常に明確に表現されているが、メジャーの観点からはあまりうまく変換されないことです。

— NRH
ソース

（+1）良い説明。前者の表記法が非常に人気があるもう1つの理由は、アプリケーションの直感的な概念に自然に変換されるためだと思います。（数時間前に投票。）

— 枢機

@cardinal、その点をより明確にしてくれてありがとう。確率測度の畳み込みではなく、変数の合計の観点から考えて議論する方が自然であるように思われます。それを数学に反映させてください。

— NRH

私は最近、ランダム変数と背景空間について考えるこの新しい方法につまずいた。これが数学的な理由ではないので、これがあなたが探していた質問であるかどうかはわかりませんが、RVを考えるための非常にきちんとした方法を提供すると思います。 $X$ $\Omega$

コインを投げる状況を想像してください。この実験的なセットアップは、コインの投げ方の物理的な説明を含む可能な初期条件のセットで構成されています。バックグラウンドスペースは、考えられるすべての初期条件で構成されています。簡単にするために、コインのトスは速度のみが変化すると仮定し、 $\Omega = [0,v_{max}]$

確率変数その後、すべての初期状態をマップする機能として考えることができる、それが尾や頭であるかどうか、すなわち、実験の対応する結果と。 $X$ $\omega \in \Omega$

：RV用メジャー相当次に希望表される実験のダイナミクスとともに、初期条件での確率測定 $X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$ $Q$ $X$ 結果の確率分布を決定します。

この考えを参照するには、「物理学の確率」（2011）のTim Maudlinの章またはMicheal Strevensの章を参照してください。

— セバスチャン
ソース