pdfとpmfとcdfには同じ情報が含まれていますか？

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pdfとpmfとcdfには同じ情報が含まれていますか？

私にとって、pdfは特定のポイント（基本的には確率の下の領域）に確率全体を与えます。

pmfは、特定のポイントの確率を示します。

cdfは、特定のポイントの下での確率を示します。

だから私にはpdfとcdfは同じ情報を持っていますが、pmfはx分布上の点の確率を与えるのでそうではありません。

— カレ
ソース

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確率関数と密度*を区別する場合、pmfは離散確率変数にのみ適用され、pdfは連続確率変数に適用されます。

*正式なアプローチは両方を包含し、それらに単一の用語を使用できます

cdfは、pdfもpmfも持たないものを含む、任意のランダム変数に適用されます。

ここに画像の説明を入力してください

（混合分布は、pdfまたはpmfを持たない分布の唯一のケースではありませんが、かなり一般的な状況です-たとえば、1日の雨の量や、請求で支払われた金額を考慮してくださいいずれかがゼロ膨張連続分布によってモデル化されるかもしれない財産保険契約）

確率変数の累積分布関数は与えます $X$ $P(X\leq x)$

離散確率変数のpmfは、を与えます。 $X$ $P(X=x)$

pdf 自体は確率を与えませんが、相対的な確率を与えます。連続分布には点の確率はありません。PDFから確率を得るには、一定の間隔で積分するか、2つのcdf値の差を取る必要があります。

「同じ情報が含まれているか」という質問に答えるのは困難です。なぜなら、それはあなたの意味に依存するからです。pdfからcdf（統合経由）、pmfからcdf（合計経由）、cdfからpdf（微分経由）、cdfからpmf（差分経由）に移動できるため、pmfまたはpdfが存在する場合、 cdfと同じ情報が含まれています。

— Glen_b -Reinstate Monica
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グレン、「相対確率を与えるpdf」について読むことができる参考資料を提供してください。それは非常に興味深く、私の本でそれを見たことを覚えていません。ありがとう。

— アレコスパパドプロ14

それは単にながら事実の（おそらく悪い言葉遣い）の説明だ@Alecosあるため、確率ではありませんであることの確率であるそして、は、密度が変数が非常に短い距離内にある確率と、密度が変数が同じ間隔にある比率と考えることができます。その意味で、「相対確率」を表します。

f (x)

$f(x)$

f (x) d x

$f(x)\,dx$

(x, x + d x)

$(x,x+dx)$

f (x) / g (x)

$f(x)/g(x)$

f

$f$

x

$x$

g

$g$

— -Glen_b-モニカーの復活14

そうですか。それは確率の比の近似として確かに有効であり、経験的に密度関数に確かに存在します。

— アレコスパパドプロ14

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PMFは離散ランダム変数に関連付けられ、PDFは連続ランダム変数に関連付けられます。以下のための任意の確率変数のランダムの種類、CDFは常に存在（および一意である）として定義ランダム変数のサポートセットに応じて、密度（または質量関数）が存在する必要はなくなりました。（Cantor SetとCantor Functionを検討してください。セットは、単位間隔の中央の1/3を削除し、間隔（0、1 / 3）および（2 / 3、1）などで手順を繰り返すことにより再帰的に定義されます。。関数は次のように定義される、場合カントール集合であり、最大はカントールセットに結合下げると

F_{X} (x) = P {X \leq x} .

$F_X(x) = P\{X \leq x\}.$

X

$X$

C (x) = x

$C(x) = x$

x

$x$

x

$x$ メンバーではないあなたがタック場合。）カントール関数は、完全に良好な分布関数であり、場合と場合。しかし、この累積分布関数には密度がありませんはどこでも連続ですが、その導関数はほぼどこでも0です。有用な尺度に関して密度はありません。

C (x) = 0

$C(x)= 0$

x < 0

$x < 0$

C (x) = 1

$C(x) = 1$

1 < x

$1 < x$

C (x)

$C(x)$

だから、あなたの質問への答えは、されている場合密度や質量関数が存在している、それはいくつかの措置に対するCDFの誘導体です。その意味で、それらは「同じ」情報を伝えます。ただし、PDFおよびPMFは存在する必要はありません。CDFが存在する必要があります。

— デニス
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デニス、「どの尺度に関しても密度がない」というフレーズの意味を明確にできますか？確かに、それはそれ自体に関して密度（均一！）を持っています。

— 枢機

@cardinal：試してみますが、実際の分析を勉強していない限り、それが理にかなっているとは思いません。数学統計に関する古い本（たとえば、フロイントの数学統計）を見ると、「密度」と呼ばれるPMFが表示されます。「密度」という名前は、測定可能な空間の確率尺度によって正当化され、CDFの基礎となります（Joelのコメントを参照）。密度は、あるメジャー（通常はレスベーグメジャーまたはカウンティングメジャー）に関するのラドンニコダイム導関数です。この場合、にはRN微分がありません。

μ

$\mu$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

μ

$\mu$

C (x)

$C(x)$

— デニス14

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@cardinal（続き）：確率尺度はCantor Setで均一ですが、これは -algebraがどのように見えるかわからないほど奇妙な怪物です。おそらく、「有用な尺度に関して密度はありません。」

σ

$\sigma$

— デニス14

2

他の答えは、CDFは基本的であり、存在しなければならないという事実を指しますが、PDFとPMFは存在しないし、必ずしも存在しません。

サンプルスペースが順序付けられていないときにCDFを解釈する方法（またはその存在方法）がわからなかったため、これは混乱し、興味をそそられました（非統計学者）。たとえば、円について考えてください。 $S^1$

答えは、基本関数は確率測度であり、サンプル空間の各（考慮された）サブセットを確率にマッピングすることだと思われます。次に、それらが存在する場合、CDF、PDF、およびPMFは確率測度から発生します。

— ジョエル・ボスベルト
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私が見たように、ほとんどの教科書は「ランダム変数」をサンプル空間から実数へのマッピングと定義しています。基本的に、「ランダム変数」は実数値です。

— ニールG 14

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確率変数を使用して確率空間入り、から離れます。順序は適切である場合とそうでない場合があるため、対処するのは面倒です。方が基本的だと思います。結局、しかし、抽象メジャースペースで非常に興味深いことを行うのは困難です。それに加えて、私の生徒はPxFとCDFに関して十分な問題を抱えています。私は彼らに測定理論を教えようとしても構わない。

(R, B, F)

$(\mathbb{R}, \frak{B}, \mathrm{F})$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

Ω

$\Omega$

μ

$\mu$

F_{X} (x) = μ {ω | X (ω) \leq x} .

$F_X(x) = \mu\{\omega\, |\, X(\omega) \leq x\}.$

— デニス14