昔ながらのモンテカルロでの複数のシミュレーションの利点は？

この質問の精神は、「古き良きモンテカルロ」としても知られる「普通のモンテカルロ」から来ています。

ランダム変数とします$X$

$$\mu := E[X]\\ \sigma^2:=Var[X]$$

確率分布関数が不明であるため（または計算が扱いにくいため）、どちらも不明な値です。$X$

いずれにせよ、の分布から何らかの形で回の描画（これらは独立しており、まったく同じように分布しています）をシミュレート できるとします。サンプルパラメータを定義しましょう$n$$X_1,X_2,\dots,X_n$$X$

$$\hat{\mu}_n := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\\ \hat{\sigma}_n^2 : = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\hat{\mu}_n)^2$$

中心極限定理によれば、が非常に大きくなると、サンプル平均は正規分布に厳密に従います$n$$\hat{\mu}_n$

$$\hat{\mu} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$$

信頼区間を計算する前に、著者はわからないので概算、またはより正確には不偏推定について、そしてそこから標準的な手法を使用して先に進むことができます。$\sigma^2$$\sigma^2 \approx \hat{\sigma}^2$$\sigma^2 \approx \frac{n}{n-1}\hat{\sigma}^2$

さて、作者はの重要性を十分に述べていますが（シミュレーションごとの描画の数）、シミュレーションの数とその信頼性への影響については触れられていません。$n$

いくつかのサンプル平均を得るためにシミュレーションを実行する（毎回回の描画を実行する）利点はありますか？、そして平均の平均を使用して、未知のに関する推定と信頼性を向上させますか？$k$$n$$\hat{\mu}_{n,1}, \hat{\mu}_{n,2}, \dots \hat{\mu}_{n,k}$$\mu,\sigma$$X$

または、が十分に大きい限り、1回のシミュレーションでからサンプルを描画するだけで十分ですか？$n$$X$$n$

擬似乱数生成に関する問題が回避される長いほど（末尾に注を参照）、二つのアプローチ（シミュレーションとが十分大きいと、単一のシミュレーション対描画）に等価である平均値を推定に関して。メモリについては、シミュレーションの場合、実行する前にサンプル平均を保存する必要があることに注意してください。最後の意味ですが、これは単一のシミュレーションシナリオでは発生しません。最近のコンピューターでは、が十分に大きい単一のシミュレーションを実行することは、以前に説明したものよりも難しくなく、実際には時間を節約する必要があります。$k$$n$$n$$k$$\hat{\mu}_{n,1}, \dots, \hat{\mu}_{n,k}$$n$

同等性を超えた数学的理由は線形性です。より正確には、シミュレーションのシナリオでは、「最終」サンプル平均を次のように計算します ここで、はシミュレーション番号が付けられた描画。奇妙なことが起こらなければ、この順序付けは任意です。したがって、各に新しいインデックスでラベルを付け直すことができます。たとえば、とすると、 $k$$\hat{\mu}$

$$\hat{\mu} = \frac{1}{k} \sum_{h=1}^k \hat{\mu}_{n,h} = \frac{1}{k} \sum_{h=1}^k \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X^{(h)}_i = \frac{1}{nk} \sum_{h=1}^k \sum_{i=1}^n X^{(h)}_i$$ $X_i^{(h)}$$i$$h$$X_i^{(h)}$$m=1,\dots,nk$ $$\hat{\mu} = \frac{1}{nk} \sum_{m=1}^{nk} X_m$$ しかし、これはドローで単一のシミュレーションを実行することと同じです（すでに述べたように、ドローは明らかにiidでなければなりません）。$nk$

注： PRNGの潜在的な問題については、ウィキペディアのページで説明されています。