アンスコム変換と法線近似

Anscombe変換され$a(x) = 2\sqrt{x+3/8}$。

アンスコム変換されたバージョンであることを証明する方法を誰かに教えてもらえますか $Y = a(X)$ ポアソン分布確率変数の $X$ ほぼ正規分布です（ $\lambda>4$）？

これは、3つのアイデアを組み合わせた証明のスケッチです。（a）デルタ法、（b）分散安定化変換、および（c）独立した和の下でのポアソン分布の閉包。

最初に、一連のiidポアソン確率変数を考えてみましょう$X_1, X_2, \ldots$ 平均して $\lambda > 0$。次に、中心極限定理は、

$$\newcommand{\barX}{\bar{X}_n}\newcommand{\convd}{\,\xrightarrow{\,d\,}\,}\newcommand{\Nml}{\mathcal{N}} \sqrt{n} (\barX - \lambda) \convd \Nml(0,\lambda) \> .$$

漸近分散は（おそらく不明）パラメータ依存することに注意してください。以外のデータの関数を見つけることができれば、センタリングと再スケーリングの後に、パラメータが何であっても同じ漸近分散が得られるようにするとよいでしょう。$\lambda$$\bar{X}_n$$\lambda$

デルタ法は極限分布既に知られているいくつかの統計の円滑な機能の分布を決定するための便利な方法を提供します。ましょう連続一次導関数ようにとの関数である。次に、デルタ法（私たちの特定のケースに特化した）によって、 $g$$g'(\lambda) \neq 0$

$$\sqrt{n}\big(g(\barX) - g(\lambda)\big) \convd \Nml(0, \lambda g'(\lambda)^2) \>.$$

したがって、すべての可能なに対して漸近分散定数（たとえば、値）をどのように作成できますか？上記の式から、解決する必要があることがわかります$1$$\lambda$

$$g'(\lambda) = \lambda^{-1/2} \>.$$

一般的な反微分が任意のに対してであり、限界分布がの選択に対して不変であること（減算による）を確認することは難しくありません。。一般性は失われん。このような関数は、分散安定化変換と呼ばれます。$g(\lambda) = 2 \sqrt{\lambda} + c$$c$$c$$c = 0$$g$

したがって、デルタ法と選択により、 $g$

$$\sqrt{n}\Big(2\sqrt{\barX} - 2\sqrt{\lambda}\Big) \convd \Nml(0, 1) \>.$$

現在、ポアソン分布は独立した合計の下で閉じています。したがって、が平均ポアソンである場合、確率変数が存在し、これらは平均ポアソンであり、はと同じ分布を持ちます。これは、単一のポアソン確率変数の場合の近似の動機になります。$X$$\lambda$$Z_1, \ldots, Z_n$$\lambda/n$$\sum_{i=1}^n Z_i$$X$

何Anscombe（1948）が発見した形質転換修正することをしたに（わずかに）いくつかの定数を、実際に小さいため、より良い仕事。この場合、がほぼ最適です。$g$$\tilde{g}(\lambda) = 2\sqrt{\lambda + b}$$b$$\lambda$$b = 3/8$

この変更は真の分散安定化プロパティを「破壊」することに注意してください。つまり、は厳密な意味では分散安定化ではありません。しかし、これは近く、小さいに対してより良い結果をもたらします。$g$$\tilde{g}$$\lambda$