極値理論：対数正規GEVパラメーター

対数正規分布は、Gumbelの最大引力領域に属します。ここで、

$F^{logN}(x; \mu,\sigma)=\Phi\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)$、

$F^{Gum}(x;\mu,\beta) = e^{-\exp\left({-\frac{x-\mu}{\beta}}\right)}$

私の質問：$\mu=\mu$と$\sigma=\beta$ますか？

極値分布はまた、表記使用$\beta=\sigma$（ガンベルが制限ケースで$\xi =0$）、および標準対数正規と標準ガンベルためのCDFを比較すると、再びパラメータが一致する意味するものであろう。しかし、Gumbelは対数正規マキシマの限定的なケースであるため、私はそれについて確信がありません。そのため、パラメーターの変換も行われる可能性があります。

ましょ$X_i \sim_{\text{i.i.d}} \text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$$\log X_i$$\mu$$\sigma$$M_n := \max_{1 \leqslant i \leqslant n} X_i$$a_n >0$$b_n$

$$\tag{1} \frac{M_n - b_n}{a_n} \to \text{Gum}(0, 1)$$

ここで、は、場所がでスケールがのGumbel分布を示します。つまり、 すべてのになります。$\text{Gum}(\nu,\,\beta)$$\nu$$\beta$$F_{M_n}(a_n x + b_n) \to F_{\text{Gum}}(x;\,0,\,1)$$x$

明らかに2つのシーケンスとはと に依存しているので、これらはと と表すことができます。場合たとえば、に置き換えられ 、その後の分布のそれに置き換えられとの分布のそれによって置き換えられることを意味、 してで交換する必要がありと同じ制限を維持します。同様に、を置き換えた場合$a_n$$b_n$$\mu$$\sigma$$a_n(\mu,\,\sigma)$$b_n(\mu,\,\sigma)$$\mu$$\mu +1$$X_i$$e X_i$$M_n$$e M_n$$a_n$$b_n$$ea_n$$eb_n$$\mu$と 不変、によって置換される次いで及び およびによって置き換えられなければならないおよび。$0$$\sigma$$X_i$$e^{-\mu} X_i$$a_n$$b_n$$e^{-\mu} a_n$$e^{-\mu}b_n$

質問は次のように定式化できます：の左側でシーケンス とを使用する場合-代わりに と - 右側にれますか？答えはノーです。これは、ガンベルのパラメーターが実際に位置とスケールのパラメーターであるためです。これは対数正規には当てはまりません。パラメーター 対数正規影響尾のは、Asを変動増大の係数という事実によって見ることができる。ながら 常に配列、引力のガンベルドメインに残っ$a_n(0, 1)$$b_n(0, \,1)$$a_n(\mu,\,\sigma)$$b_n(\mu,\,\sigma)$$\text{Gum}(\mu,\,\sigma)$$\sigma$$\sigma$$\text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$$a_n$また、は、が増加するにつれて、より速くなる傾向があります。（1）でシーケンスと使用して、参照Embrechts P.、KlüppelbergC.およびMikosch T.の表3.4.4 PPを155 -157。私たちが列を使用している場合と間違ったと成長の速度ので、我々は、（1）の左側のための非縮退限度を取得することはありませんと、その後の尾には適していません$b_n$$\infty$$\sigma$$a_n$$b_n$

$$b_n(\mu, \sigma) = e^\mu \, b_n(0, 1)^\sigma, \qquad a_n(\mu, \sigma) = \sigma \,(2 \log n)^{-1/2} b_n(\mu,\,\sigma),$$ $a_n$$b_n$$\sigma$$a_n$$b_n$$X_i$。