極値理論-ショー：ガンベルに垂直

の最大値 iid Standardnormalsは、極値理論に従って標準ガンベル分布に収束します。 $X_1,\dots,X_n. \sim$

どのようにそれを示すことができますか？

我々は持っています

P (max X_{i} \leq x) = P (X_{1} \leq x, \dots, X_{n} \leq x) = P (X_{1} \leq x) \dots P (X_{n} \leq x) = F (x)^{n}

$P(\max X_i \leq x) = P(X_1 \leq x, \dots, X_n \leq x) = P(X_1 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) = F(x)^n$

我々は、選択/検索する必要が定数のシーケンスように： $a_n>0,b_n\in\mathbb{R}$

F {(a_{n} x + b_{n})}^{n} \to^{n \to \infty} G (x) = e^{- \exp (- x)}

$F\left(a_n x+b_n\right)^n\rightarrow^{n\rightarrow\infty} G(x) = e^{-\exp(-x)}$

それを解決したり、文献で見つけたりできますか？

pg.6 / 71のいくつかの例がありますが、通常の場合ではありません：

Φ {(a_{n} x + b_{n})}^{n} = {(\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{a_{n} x + b_{n}} e^{- \frac{y^{2}}{2}} d y)}^{n} \to e^{- \exp (- x)}

$\Phi\left(a_n x+b_n\right)^n=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a_n x+b_n} e^{-\frac{y^2}{2}}dy\right)^n\rightarrow e^{-\exp(-x)}$

— em護
ソース

回答:

間接的な方法は次のとおりです
。完全に連続した分布の場合、リチャード・フォン・ミーゼス（1936年の論文「La distribution de la plus grande de n valeurs」、1964年版で選択された彼の論文）は、サンプルの最大値が標準Gumbel、に収束するための次の十分な条件を提供しています： $G(x)$

ましょう共通の分布関数であるの確率変数をIID、および、それらの共通の密度。次に、 $F(x)$ $n$ $f(x)$

lim_{x \to F^{- 1} (1)} (\frac{d}{d x} \frac{(1 - F (x))}{f (x)}) = 0 \Rightarrow X_{(n)} \overset{d}{\to} G (x)

$\lim_{x\rightarrow F^{-1}(1)}\left (\frac d{dx}\frac {(1-F(x))}{f(x)}\right) =0 \Rightarrow X_{(n)} \xrightarrow{d} G(x)$

標準正規の通常の表記法を使用し、導関数を計算すると、

\frac{d}{d x} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} = \frac{- ϕ (x)^{2} - ϕ^{'} (x) (1 - Φ (x))}{ϕ (x)^{2}} = \frac{- ϕ^{'} (x)}{ϕ (x)} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1

$\frac d{dx}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)} = \frac {-\phi(x)^2-\phi'(x)(1-\Phi(x))}{\phi(x)^2} = \frac {-\phi'(x)}{\phi(x)}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1$

ことに注意してください。また、正規分布の場合、です。したがって、制限を評価する必要があります $\frac {-\phi'(x)}{\phi(x)} =x$ $F^{-1}(1) = \infty$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1)

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right)$

しかしミルの比であり、我々は標準正規のためのミルの比が傾向があることを知っているとして成長します。そう $\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}$ $1/x$ $x$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1) = x \frac{1}{x} - 1 = 0

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right) = x\frac {1}{x}-1= 0$

そして、十分な条件が満たされています。

関連するシリーズは、

a_{n} = \frac{1}{n ϕ (b_{n})}, b_{n} = Φ^{- 1} (1 - 1 / n)

$a_n = \frac 1{n\phi(b_n)},\;\;\; b_n = \Phi^{-1}(1-1/n)$

補遺

これはchからです。10.5本のHA David＆HN Nagaraja（2003）、「Order Statistics」（3dエディション）。

$\xi_a = F^{-1}(a)$ 。また、デ・ハーンへの参照は、「ハーン、LD（1976）サンプル極端基本導入にStatistica Neerlandica、30（4）、161-172。。。しかし、表記の一部がで異なるコンテンツ有しているので注意してください」デハーンを -たとえば、本ではは確率密度関数であり、デハーンではは本の関数（つまりミルの比）を意味します。また、de Haanはすでに区別された十分条件を調べます。 $f(t)$ $f(t)$ $w(t)$

ここに画像の説明を入力してください

— アレコスパパドプロス
ソース

私はあなたの解決策を理解したかどうかよくわかりません。したがって、を標準の通常のCDFにしました。十分な条件が満たされていることに同意しました。しかし、関連するシリーズおよびは、それらによって突然どのように与えられるのでしょうか？

F

$F$

a_{n}

$a_n$

b_{n}

$b_n$

— レンレンハムスター14

@renrenthehamsterこれらの2つの部分は独立して記述されていると思います（直接的な接続はありません）。

— emcor 14

そして、関連するシリーズはどのように取得できますか？とにかく、私は（標準正規超えて他のディストリビューションのために、より一般的と）この問題について質問を開いた

— renrenthehamster

@renrenthehamster関連資料を追加しました。これらのシリーズを見つけるために、すべての場合に標準的なレシピがあるとは思わない。

— アレコスパパドプロス14

問題は2つのことを要求：（1）最大ことを示す方法をという意味で、収束を適切に選択された配列について（分布）収束および、標準ガンベル分布、および（2）そのようなシーケンスを見つける方法。 $X_{(n)}$ $(X_{(n)}-b_n)/a_n$ $(a_n)$ $(b_n)$

1つ目は、Fisher-Tippett-Gnedenkoの定理（FTG）に関するオリジナルの論文でよく知られ、文書化されています。2番目はより難しいようです。それがここで扱われている問題です。

このスレッドの他の場所にあるいくつかのアサーションを明確にするために、

最大値は何にも収束しません：それは発散します（非常にゆっくりですが）。
Gumbelディストリビューションに関しては、さまざまな規則があるようです。反転されたガンベル分布のCDFは、スケールと場所に応じてで与えられるという規則を採用します。iid正規変量の適切に標準化された最大値は、逆のガンベル分布に収束します。 $1-\exp(-\exp(x))$

直感

が共通の分布関数でiidの場合、最大の分布は $X_i$ $F$ $X_{(n)}$

F_{n} (x) = Pr (X_{(n)} \leq x) = Pr (X_{1} \leq x) Pr (X_{2} \leq x) \dots Pr (X_{n} \leq x) = F^{n} (x) .

$F_n(x) = \Pr(X_{(n)}\le x) = \Pr(X_1 \le x)\Pr(X_2 \le x) \cdots \Pr(X_n \le x) = F^n(x).$

正規分布のように、のサポートに上限がない場合、関数シーケンスは制限なく右に永久に行進します。 $F$ $F^n$

部分グラフため示されています。 $F_n$ $n=1,2,2^2, 2^4, 2^8, 2^{16}$

これらの分布の形状を調べるには、それぞれをだけ左にシフトし、再スケーリングして比較可能にします。 $b_n$ $a_n$

前の各グラフは、中央値をにし、単位長の四分位範囲を作成するためにシフトされています。 $0$

FTGは、シーケンスおよびを選択して、これらの分布関数がスケールごとおよび位置まで、ごとにある極値分布に点ごとに収束するように選択できると主張します。場合正規分布であり、特に制限極値分布は、ガンベル、位置及びスケールアップを反転させます。 $(a_n)$ $(b_n)$ $x$ $F$

溶液

を標準化して単位平均と単位分散を持たせることにより、中央極限定理をエミュレートするのは魅力的です。ただし、FTGは1次モーメントも2次モーメントもない（連続）分布にも適用されるため、これは不適切です。代わりに、パーセンタイル（中央値など）を使用して場所を特定し、パーセンタイルの差（IQRなど）を使用してスプレッドを特定します。 （この一般的なアプローチは、連続分布のおよびを見つけることに成功するはずです。） $F_n$ $a_n$ $b_n$

標準正規分布の場合、これは簡単です！ましょう。対応するの分位数は、である任意の値です。の定義を思い出して、解は $0 \lt q \lt 1$ $F_n$ $q$ $x_q$ $F_n(x_q) = q$ $F_n(x) = F^n(x)$

{バツ}_{q; n} = F^{- 1} （ q^{1 / n} ） 。

$x_{q;n} = F^{-1}(q^{1/n}).$

したがって、設定することができます

b_{n} = {バツ}_{1 / 2; n} 、 a_{n} = {バツ}_{3 / 4; n} - {バツ}_{1 / 4; n}; G_{n} （ バツ ） = F_{n} （ a_{n} バツ + b_{n} ） 。

$b_n = x_{1/2;n},\ a_n = x_{3/4;n} - x_{1/4;n};\ G_n(x) = F_n(a_n x + b_n).$

、建設によって、メジアンためあるとIQRであるの制限値のメジアン（ガンベル逆のいくつかのバージョンである）でなければならないとIQRでなければなりません。scaleパラメーターを、locationパラメーターをます。中央値はあり、IQRはであることがすぐにわかるため、パラメーターは $G_n$ $0$ $1$ $G_n$ $0$ $1$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha + \beta \log\log(2)$ $\beta(\log\log(4) - \log\log(4/3))$

α = \frac{ログ ログ 2}{ログ ログ （ 4 / 3 ） - ログ ログ （ 4 ）}; β = \frac{1}{ログ ログ （ 4 ） - ログ ログ （ 4 / 3 ）} 。

$\alpha = \frac{\log\log 2}{\log\log(4/3) - \log\log(4)};\ \beta = \frac{1}{\log\log(4) - \log\log(4/3)}.$

とが正確にこれらの値である必要はありませんの制限がまだこの逆Gumbel分布である限り、それらは近似値のみが必要です。標準法線簡単な（しかし退屈な）分析は、近似が $a_n$ $b_n$ $G_n$ $F$

a_{n}^{'} = \frac{ログ （ （ 4 {ログ}^{2} （ 2 ） ） / （ {ログ}^{2} （ \frac{4}{3} ） ） ）}{2 \sqrt{2 ログ （ n ）}} 、 b_{n}^{'} = \sqrt{2 ログ （ n ）} - \frac{ログ （ ログ （ n ） ） + ログ （ 4 π {ログ}^{2} （ 2 ） ）}{2 \sqrt{2 ログ （ n ）}}

$a_n^\prime = \frac{\log \left(\left(4 \log^2(2)\right)/\left(\log^2\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)}{2\sqrt{2\log (n)}},\ b_n^\prime = \sqrt{2\log (n)}-\frac{\log (\log (n))+\log \left(4 \pi \log ^2(2)\right)}{2 \sqrt{2\log (n)}}$

正常に動作します（できるだけ単純です）。

水色の曲線は、部分グラフでため近似配列を用いておよび。濃い赤色の線は、パラメーターおよびを使用した逆Gumbel分布を示しています。収束は明確です（ただし、負のの収束速度は著しく遅くなります）。 $G_n$ $n=2, 2^6, 2^{11}, 2^{16}$ $a_n^\prime$ $b_n^\prime$ $\alpha$ $\beta$ $x$

参照資料

BV Gnedenko、ランダムシリーズの最大項の制限分布について。Kotz and Johnson、Breakthroughs in Statistics Volume I：Foundations and Basic Theory、 Springer、1992。NormanJohnson による翻訳。

— ウーバー
ソース

@Vosslerに対するAlecosの投稿の式は、として収束し。これは、振る舞いのような大きいため。

a_{n}

$a_n$

0

$0$

n \to \infty

$n\to\infty$

{(2 \log (n) - \log (2 π))}^{- 1 / 2}

$\left(2 \log(n) - \log(2\pi)\right)^{-1/2}$

n

$n$

— whuber

はい、それは本当です。コメントを投稿した直後にこれに気づいたので、すぐに削除しました。ありがとうございました！

— Vossler

@Jess私は「」式のようなものが存在しないことを、この答えは、とりわけ、示すものとして理解されるだろうと期待していた：のための非可算、多くの正しい式がありと

a_{n}

$a_n$

b_{n} .

$b_n.$

— whuber

@Jessそれは、別のアプローチを示すことがこの答えを書く動機であったためです。私が「答えを書き留めるのは役に立たない」と思ったというあなたのほのめかしは理解できません。

— whuber

@Jess私はこの会話を完全に一方的なものであるため続けることができません。私はあなたの特性化のいずれかで書いたものをまだ認識していません。後ろにいる間に辞めます。

— whuber