ガンマ分布からポアソン分布を導き出す方法は？

ましょう $T_1, T_2, \dots$ パラメータの指数確率変数のIIDシーケンスです $\lambda$ 。合計は、ガンマ分布です。今私が理解しているように、ポアソン分布はによって次のように定義されています： $S_n = T_1 + T_2 + \dots + T_n$ $N_t$

N_{t} = max {k : S_{k} \leq t}

$N_t = \max\{k: S_k \le t\}$

がポアソン確率変数であることを正式に示すにはどうすればよいですか？ $N_t$

どんな提案も歓迎します。いくつかの証明を試みましたが、最終的な方程式に到達できませんでした。

参考文献

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

— user862
ソース

@ user862、手元で知っている証明は特に直接的ではありません。Durrettは彼の確率の本でかなりきれいな派生物を持っています。3〜4ページかかると思います。これは、彼の本を読んだことがあれば、彼の基準による長い証拠です。レズニックは彼の確率論的プロセスのテキストでもう少し抽象的なアプローチを取ります。大きなハンマーを組み立てて使用することで、より一般的な結果を得ることができます。ロスは間違いなく彼の確率論的プロセスの本で扱いを持っていますが、私はそれにあまり詳しくありません。

— 枢機卿、

証拠は、ダレットの本で見つかりました。それは本当に明確に説明されています。ポインタをありがとう。

— user862

ダレットの証明は素晴らしいと確信しています。質問に対する簡単な解決策は次のとおりです。

以下のための $n \geq 1$

\begin{array}{rcl} P (N_{t} = n) & = & \int_{0}^{t} P (S_{n + 1} > t ∣ S_{n} = s) P (S_{n} \in d s) \\ = & \int_{0}^{t} P (T_{n + 1} > t - s) P (S_{n} \in d s) \\ = & \int_{0}^{t} e^{- λ (t - s)} \frac{λ^{n} s^{n - 1} e^{- λ s}}{(n - 1)!} d s \\ = & e^{- λ t} \frac{λ^{n}}{(n - 1)!} \int_{0}^{t} s^{n - 1} d s \\ = & e^{- λ t} \frac{(λ t)^{n}}{n!} \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(N_t = n) & = & \int_0^t P(S_{n+1} > t \mid S_n = s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t P(T_{n+1} > t-s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t e^{-\lambda(t-s)} \frac{\lambda^n s^{n-1} e^{-\lambda s}}{(n-1)!} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{\lambda^n }{(n-1)!} \int_0^t s^{n-1} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!} \end{array}$

以下のために我々は。 $n = 0$ $P(N_t = 0) = P(T_1 > t) = e^{-\lambda t}$

これは、がより難しいポアソンプロセスであることを証明していませんが、の周辺分布が平均ポアソンであることを示しています。 $(N_t)_{t \geq 0}$ $N_t$ $\lambda t$

— NRH
ソース

（+1）条件付き密度にアピールすることは、ここでは厳密には必要ありません。なおそして領域全体の結合密度を積分するだけでよい。以来と独立しており、これは簡単な仕事です。

P (N_{t} = n) = P (S_{n} \leq t, S_{n + 1} > t) = P (S_{n} \leq t, S_{n} + T_{n + 1} > t)

$\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\Pr(N_t = n) = \Pr(S_n \leq t, S_{n+1} > t) = \Pr(S_n \leq t, S_n + T_{n+1} > t)$

{(s_{n}, t_{n + 1}) : 0 \leq s_{n} \leq t, t_{n + 1} > t - s_{n}} \subset R^{2}

$\{(s_n, t_{n+1}): 0 \leq s_n \leq t, t_{n+1} > t - s_n\} \subset \mathbb{R}^2$

S_{n}

$S_n$

T_{n + 1}

$T_{n+1}$

— 枢機卿、

@cardinal-そして、@ NRHの答えは簡単ではありませんか？実際には、統合が1つだけ必要なため、私はその方が簡単だと思います。

— probabilityislogic

@probabilityislogic：私の「まっすぐな」参照は、私のコメントに示されていない残りの計算についての単なる発言でした。@NRHの回答に関しては、相対的な意味ではありません。

— 枢機卿、

@probabilityislogic：@NRHの証明の最初の2行には、（追加の）理論がかなり隠れています。私のコメントの要点は、結合確率分布の最低限の要素、つまり製品測度だけを使用しても同じ結果が得られるということです。これは、私の見解では、条件付き期待値と@NRHの答えの1行目から2行目に進むために必要な正当化を導入するよりも、計算の根本的に単純な基礎です。批判として、私が意図したのは別の方法を提供することだけでした。

— 2011