なぜRのlm（）は私の教科書とは異なる係数推定値を返すのですか？

バックグラウンド

モデルのフィッティングのコースの最初の例を理解しようとしています（これはばかげて単純に見えるかもしれません）。私は手作業で計算を行っており、例と一致していますが、Rでそれらを繰り返すと、モデル係数はオフになります。Rは標本分散（）を使用しているのに対し、母分散（）を使用している教科書に違いがあるのではないかと考えましたが、これらが計算でどこで使用されているかわかりません。たとえば、どこかで使用している場合 、メモに関するヘルプセクション：$\sigma^2$$S^2$lm()var()var()

分母n-1が使用され、iid観測の（共）分散の不偏推定量が得られます。

私は両方のコードを見てlm()おりlm.fit()、どちらも使用していませんが、そのデータをコンパイルされたCコード（）に渡しますがvar()、アクセスできません。lm.fit()z <- .Call(C_Cdqrls, x, y, tol, FALSE)

質問

Rが異なる結果を出している理由を誰でも説明できますか？サンプルの使用と母集団の分散に違いがある場合でも、係数の推定値が異なるのはなぜですか？

データ

学校の成績から靴のサイズを予測するために線を合わせます。

# model data
mod.dat <- read.table(
    text = 'grade shoe
                1    1
                2    5
                4    9'
    , header = T);

# mean
mod.mu  <- mean(mod.dat$shoe);
# variability 
mod.var <- sum((mod.dat$shoe - mod.mu)^2)

# model coefficients from textbook
mod.m  <- 8/3;
mod.b  <- -1;

# predicted values  ( 1.666667 4.333333 9.666667 )
mod.man.pred       <- mod.dat$grade * mod.m + mod.b;
# residuals         ( -0.6666667  0.6666667 -0.6666667 )
mod.man.resid      <- (mod.dat$shoe - mod.man.pred)
# residual variance ( 1.333333 )
mod.man.unexpl.var <- sum(mod.man.resid^2);
# r^2               ( 0.9583333 )
mod.man.expl.var   <- 1 - mod.man.unexpl.var / mod.var;

# but lm() gives different results:
summary(lm(shoe ~ grade, data = mod.dat))

Call:
lm(formula = shoe ~ grade, data = mod.dat)

Residuals:
      1       2       3 
-0.5714  0.8571 -0.2857 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  -1.0000     1.3093  -0.764    0.585
grade         2.5714     0.4949   5.196    0.121

Residual standard error: 1.069 on 1 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9643,    Adjusted R-squared:  0.9286 
F-statistic:    27 on 1 and 1 DF,  p-value: 0.121

編集

ベンBolkerが示されている教師が、時には間違いを犯すように、それが見えます。Rの計算は正しいようです。教訓：教師がそれが真実だと言っているからといって、何かを信じないでください。自分で確認してください！

著者がどこかで数学的エラーを犯したようです。

平方和の偏差を拡大する場合

$$S = ((b+m)-1)^2+ ((b+2m)-5)^2 + ((b+4m)-9)^2$$ $$\begin{split} S = & b^2+2 b m+ m^2 + 1 - 2 b - 2 m \\ + & b^2+4 b m+ 4 m^2 + 25 - 10 b -20 m \\ + & b^2+8 b m+16 m^2 + 81 - 18 b -72 m \end{split}$$

$$3 b^2 + 14 b m + 21 m^2 + 107 - 30 b - 94 m$$

$S$$b$$m$

$$dS/db = 6 b + 14 m -30 \to 3 b +7 m-15 = 0$$ $$dS/dm = 14 b +42 m -94 \to 7 b + 21 m -47 = 0$$

解決する

$$\begin{split} b & = (15-7m)/3 \\ 0 & = 7 (15-7m)/3 + 21 m-47 \\ 47 - 35 & = (-49/3 + 21) m \\ m & = (47-35)/(21-49/3) = 18/7 \end{split}$$

Rは、これは確かに2.571429だと言います...

このリンクに基づいて、これはCourseraコースからのもののようです...？どこかにデータの誤記があったのでしょうか？

$\sum (y-\bar y) (x-\bar x)$$\sum (x-\bar x)^2$

g <- c(1,2,4)
g0 <- g - mean(g)
s <- c(1,5,9)
s0 <- s- mean(s)
sum(g0*s0)/(sum(g0^2))
## [1] 2.571429

$\{1,11/3,9\}$$\{1,5,9\}$