ミックスの順序に基づく「混合されていない」パーツの分布

としてペアで作成された観測値iidがあるとします以下のために。LETによると表すの番目の最大観測値。の（条件付き）分布とは何ですか？（または同等に、） $X_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_x^2\right), Y_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_y^2\right),$ $i=1,2,\ldots,n$ $Z_i = X_i + Y_i,$ $Z_{i_j}$ $j$ $Z$ $X_{i_j}$ $Y_{i_j}$

つまり、が観測値の番目に大きいことを条件として、の分布は何ですか？ $X_i$ $Z_i$ $j$ $n$ $Z$

私はそれを推測してい、の分布のちょうど無条件分布に収束としてながら、の、分布は、次の統計量の無条件分布に収束します。でも、真ん中ははっきりしません。 $\rho = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \to 0$ $X_{i_j}$ $X$ $\rho \to \infty$ $X_{i_j}$ $j$ $X$

distributions order-statistics shrinkage

— みすぼらしい
ソース

「mixture」タグは削除しました。これは、合計（または、同等に相関関係のある正規変数）に関する質問であり、それらの混合に関する質問ではないためです。

— whuber

X_{i}

$X_i$ もとは無関係に想定されます、そうですか？

Y_{i}

$Y_i$

— 枢機卿、

@cardinal：はい、独立しています。

— シャビーシェフ、2011年

：math.SEにポップアップ最近および関連する質問math.stackexchange.com/questions/38873/...

— 枢機卿を

math.SEに投稿されたソリューションは、以下に示すソリューションと概念的に同じですが、少し異なる用語を使用して公式化されています。

— NRH、

回答:

確率変数がのみの関数であることをます。以下のために -ベクトル、、我々は、書き込みのインデックスの座標最大番目。また、は、与えられたのの条件付き分布をます。 $i_j$ $\mathbf{Z} = (Z_1, \ldots, Z_n)$ $n$ $\mathbf{z}$ $i_j(\mathbf{z})$ $j$ $P_z(A) = P(X_1 \in A \mid Z_1 = z)$ $X_1$ $Z_1$

の値に従って確率を分解し、についてと、次のようになります。 $i_j$ $\mathbf{Z}$

\begin{array}{rcl} P (X_{i_{j}} \in A) & = & \sum_{k} P (X_{k} \in A, i_{j} = k) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z = z) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z_{k} = z_{k}) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P_{z_{k}} (A) P (Z \in d z) \\ = & \int P_{z} (A) P (Z_{i_{j}} \in d z) \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(X_{i_j} \in A) & = & \sum_{k} P(X_k \in A, i_j = k) \\ & = &\sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid \mathbf{Z} = \mathbf{z}) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid Z_k = z_k) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P_{z_k}(A) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \int P_{z}(A) P(Z_{i_j} \in dz) \\ \end{array}$

この引数は非常に一般的で、指定された仮定にのみ依存しますは、任意の関数にすることができます。 $Z_k$ $(X_k, Y_k)$

正規分布の仮定（を取る）およびが合計である場合、が指定されたの条件付き分布はおよび@probabilityislogicは、分布を計算する方法を示しているので、上記の最後の積分に入る両方の分布の明示的な式。積分を分析的に計算できるかどうかは、別の問題です。あなたはできるかもしれませんが、それが可能であるかどうかは頭の上ではわかりません。または場合の漸近分析 $\sigma_y = 1$ $Z_k$ $X_1$ $Z_1 = z$

N (\frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}} z, σ_{x}^{2} (1 - \frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}}))

$N\left(\frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2} z, \sigma_x^2\left(1 - \frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2}\right)\right)$

Z_{i_{j}}

$Z_{i_j}$

σ_{x} \to 0

$\sigma_x \to 0$

σ_{x} \to \infty

$\sigma_x \to \infty$ 必要ないかもしれません。

上記の計算の直観は、これが条件付きの独立性の引数であることです。所与変数と独立しています。 $Z_{k} = z$ $X_{k}$ $i_j$

— NRH
ソース

の分布は難しくなく、ベータ-F複合分布によって与えられます。 $Z_{i_{j}}$

p_{Z_{i_{j}}} (z) d z = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{z}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{n - j} d z

$p_{Z_{i_{j}}}(z)dz=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dz$

ここで、は標準の通常のPDFであり、は標準の通常のCDFであり、。 $\phi(x)$ $\Phi(x)$ $\sigma_{z}^{2}=\sigma_{y}^{2}+\sigma_{x}^{2}$

ここで、と指定されている場合、は 1対1関数、つまり。したがって、これはヤコビアンルールの単純な適用であると思います。 $Y_{i_{j}}=y$ $X_{i_{j}}$ $Z_{i_{j}}$ $X_{i_{j}}=Z_{i_{j}}-y$

p_{X_{i_{j}} | Y_{i_{j}}} (x | y) = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{x + y}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{n - j} d x

$p_{X_{i_{j}}|Y_{i_{j}}}(x|y)=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dx$

これは簡単すぎるようですが、私はそれが正しいと思います。間違って表示されてうれしい。

— 確率論的
ソース

あなたはその質問を誤解しています。、分布をの関数として探しています。とは実際には監視していません。であるとが想定しているため、パラメーターのみを考慮します。

X_{i_{j}}

$X_{i_j}$

j, n, σ_{x}, σ_{y}

$j, n, \sigma_x, \sigma_y$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

σ_{x} = 1

$\sigma_x = 1$

j, n, σ_{y}

$j, n, \sigma_y$

— シャビーシェフ、

わかりました。つまり、基本的にこの方程式から削除する必要がありますか？（統合された）

y

$y$

— 確率論的

はい; そしてそれはZから独立していません...

— shabbychef '09年