指数の上限

分布を持つIIDランダム変数とします。私たちは、のサンプルを観察しようとしている 'は次のように秒：聞かせて独立していること確率変数、と仮定し、すべてのことをさんとさん独立しており、サンプルサイズを定義します。さんは、のかを示すサンプルであるS '、我々はによって定義されたサンプル中の成功の割合を勉強したいです $X_1,\dots,X_n$ $\mathrm{Ber}(\theta)$ $X_i$ $Y_1,\dots,Y_n$ $\mathrm{Ber}(1/2)$ $X_i$ $Y_i$ $N=\sum_{i=1}^n Y_i$ $Y_i$ $X_i$

Z = {\begin{cases} \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i} & if N > 0, \\ 0 & if N = 0 . \end{cases}

$Z = \begin{cases} \frac{1}{N}\sum_{i=1}^n X_i Y_i & \text{if}\quad N > 0\, , \\ 0 & \text{if} \quad N = 0 \, . \end{cases}$ のために、我々は上に向かう見つけたいで指数関数的に減衰する。Hoeffdingの不等式は、変数間の依存関係のため、すぐには適用されません。

ϵ > 0

$\epsilon>0$

P r (Z \geq θ + ϵ)

$\mathrm{Pr}\!\left(Z \geq \theta + \epsilon\right)$

n

$n$

probability-inequalities

— 禅
ソース

してみましょう。（i）は独立していませんか？（ii）はありませんか？...その結果、ように私にははっきりしていないない「独立な確率変数の和」

Z_{i} = \frac{_{1}}{^{N}} X_{i} Y_{i}

$Z_i = \frac{_1}{^N} X_iY_i$

Z_{i}

$Z_i$

Z_{j \neq i}

$Z_{j\neq i}$

Z = \sum Z_{i}

$Z=\sum Z_i$

Z

$Z$

— Glen_b -Reinstateモニカ

ああ、良い点。私はではなくについて考えていました。しかし、代わりにと、ませんか？つまり、が1または0 であるかどうかにかかわらず、すべてのケースの合計です。分子は同じですが、分母は異なります。

n

$n$

N

$N$

Z_{i} = \frac{1}{n} X_{i} Y_{i}

$Z_i = \frac{1}{n}X_iY_i$

Z = \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}

$Z=\sum_{i=1}^n Z_i$

Y

$Y$

— Glen_b -Reinstateモニカ

であるため、問題の関心の量であるサンプルの成功の割合よりも少なくなります。（。

(1 / n) \sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i} \leq (1 / N) \sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i}

$(1/n)\sum_{i=1}^n X_i Y_i\leq (1/N)\sum_{i=1}^n X_i Y_i$

N \leq n

$N\leq n$

— 禅14年

はい、だから「いいえ、それは機能しません」で終わったのです。バーンスタインの不等式（4番目の項目を参照）など、非独立の場合に適用される不等式があり、マルチンゲールに適用される不等式がいくつかあります（ここで適用されることはわかりません）。

— -Glen_b-モニカーの復活14

私は見て、また、マーチンゲールの結果との関係を見つけようとします。行き（簡単そうで）何らかのコンディショニングを使用して、これをに接続するのは魅力的です。

U = (1 / n) \sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i}

$U=(1/n)\sum_{i=1}^nX_i Y _i$

P r (U \geq θ / 2 + ϵ) \leq \exp (- 2 n ϵ^{2})

$\mathrm{Pr}(U\geq \theta/2+\epsilon)\leq \exp(-2n\epsilon^2)$

Z

$Z$

— 禅14年

回答:

かなり直接的な方法で、Hoeffdingの不等式との関係を描くことができます。

我々が持っていることに留意されたい

{Z > θ + ϵ} = {\sum_{i} X_{i} Y_{i} > (θ + ϵ) \sum_{i} Y_{i}} = {\sum_{i} (X_{i} - θ - ϵ) Y_{i} > 0} .

$\{ Z > \theta + \epsilon\} = \big\{\sum_i X_i Y_i > (\theta + \epsilon)\sum_i Y_i \big\} = \big\{ \sum_i (X_i - \theta - \epsilon) Y_i > 0 \} \>.$

セットだから IIDされ、と Hoeffdingの不等式の直接的な適用により（であるため、サイズ1の間隔で値を取得します。 $Z_i = (X_i - \theta - \epsilon)Y_i + \epsilon/2$ $Z_i$ $\mathbb E Z_i = 0$

P (Z > θ + ϵ) = P (\sum_{i} Z_{i} > n ϵ / 2) \leq e^{- n ϵ^{2} / 2},

$\mathbb P( Z > \theta + \epsilon ) = \mathbb P\big(\sum_i Z_i > n \epsilon/2\big) \leq e^{-n \epsilon^2/2}\>,$

Z_{i} \in [- θ - ϵ / 2, 1 - θ - ϵ / 2]

$Z_i \in [-\theta-\epsilon/2,1-\theta-\epsilon/2]$

特に、さまざまな実用的応用を伴うランダム行列理論に関連するトピックに関して、過去数年間に蓄積された豊富で魅力的な関連文献があります。この種のものに興味があるなら、私は強くお勧めします：

R. Vershynin、ランダム行列の非漸近解析の紹介、圧縮センシング、理論とアプリケーションの第5章。Y. EldarおよびG. Kutyniokにより編集。ケンブリッジ大学出版局、2012年。

博覧会は明確で、文学にすぐに慣れるのにとても良い方法だと思います。

— 枢機卿
ソース

以来含まその定義では、私が印象その持っている（バウンドが変わりません）。

Z_{i}

$Z_i$

ϵ / 2

$\epsilon/2$

Z_{i} \in [- θ - ϵ / 2, 1 - θ - ϵ / 2]

$Z_i \in [-\theta-\epsilon/2,1-\theta-\epsilon/2]$

— アレコスパパドプロ14

親愛なる@Zen：の慎重な会計処理に留意さの場合は、あなたが厳格な不平等を交換できるようになりますで最終バウンドを変更することなく、どこにでも。

N = 0

$N=0$

>

$>$

\geq

$\geq$

— 枢機

@cardinal各位：実際にので、私は質問を言い換えてきたの（わずかに）付勢推定であるので、。

Z

$Z$

θ

$\theta$

E [Z] = E [I_{{N = 0}} Z] + E [I_{{N > 0}} Z] = (1 - 1 / 2^{n}) θ

$\mathrm{E}[Z]=\mathrm{E}[I_{\{N=0\}}Z]+\mathrm{E}[I_{\{N>0\}}Z] = (1-1/2^n)\,\theta$

— 禅14年

ケースを処理する詳細。 $N=0$

\begin{aligned} {Z \geq θ + ϵ} & = ({Z \geq θ + ϵ} \cap {N = 0}) \cup ({Z \geq θ + ϵ} \cap {N > 0}) \\ = ({0 \geq θ + ϵ} \cap {N = 0}) \cup ({Z \geq θ + ϵ} \cap {N > 0}) \\ = (\emptyset \cap {N = 0}) \cup ({Z \geq θ + ϵ} \cap {N > 0}) \\ = {\sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i} \geq (θ + ϵ) \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}} \cap {N > 0} \\ \subset {\sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i} \geq (θ + ϵ) \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}} \\ = {\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - θ - ϵ) Y_{i} \geq 0} \\ = {\sum_{i = 1}^{n} ((X_{i} - θ - ϵ) Y_{i} + ϵ / 2) \geq n ϵ / 2} . \end{aligned}

$\begin{align} \{Z\geq\theta+\epsilon\} &= \left(\{Z\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N=0\}\right) \cup \left(\{Z\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N>0\}\right) \\ &= \left(\{0\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N=0\}\right) \cup \left(\{Z\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N>0\}\right) \\ &= \left(\emptyset \cap \{N=0\}\right) \cup \left(\{Z\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N>0\}\right) \\ &= \left\{\sum_{i=1}^n X_iY_i\geq(\theta+\epsilon)\sum_{i=1}^n Y_i\right\} \cap \{N>0\} \\ &\subset \left\{\sum_{i=1}^n X_iY_i\geq(\theta+\epsilon)\sum_{i=1}^n Y_i\right\} \\ &= \left\{\sum_{i=1}^n (X_i-\theta-\epsilon)Y_i\geq 0\right\} \\ &= \left\{\sum_{i=1}^n \left((X_i-\theta-\epsilon)Y_i+\epsilon/2\right)\geq n\epsilon/2\right\} \, . \end{align}$

アレコス用。

\begin{aligned} E [\sum_{i = 1}^{n} W_{i}] & = E [I_{{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} = 0}} \sum_{i = 1}^{n} W_{i}] + E [I_{{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} > 0}} \sum_{i = 1}^{n} W_{i}] \\ = E [I_{{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} > 0}} \frac{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}}] = E [I_{{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} > 0}}] = 1 - 1 / 2^{n} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\!\left[\sum_{i=1} ^n W_i\right]&=\mathrm{E}\!\left[I_{\{\sum_{i=1}^n Y_i=0\}}\sum_{i=1} ^n W_i\right] + \mathrm{E}\!\left[I_{\{\sum_{i=1}^n Y_i>0\}}\sum_{i=1} ^n W_i\right] \\ &=\mathrm{E}\!\left[I_{\{\sum_{i=1}^n Y_i>0\}}\frac{\sum_{i=1} ^n Y_i}{\sum_{i=1}^n Y_i}\right]=\mathrm{E}\!\left[I_{\{\sum_{i=1}^n Y_i>0\}}\right]=1-1/2^n \, . \end{align}$

— 禅
ソース

この答えは変化し続けます。現在のバージョンは、コメントの@cardinalで行った議論とは関係ありません（ただし、この議論を通じて、条件付けのアプローチがどこにも通じないように思われたことに感謝しました）。

この試みのために、私はHoeffdingの1963年のオリジナル論文の別の部分、すなわちセクション5「Sums of Dependent Random Variables」を使用します。

セット

W_{i} \equiv \frac{Y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}}, \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} \neq 0, \sum_{i = 1}^{n} W_{i} = 1, n \geq 2

$W_i \equiv \frac {Y_i}{\sum_{i=1}^nY_i}, \qquad \sum_{i=1}^nY_i \neq 0, \qquad \sum_{i=1}^nW_i=1, \qquad n\geq 2$

場合、に設定し。 $W_i =0$ $\sum_{i=1}^nY_i = 0$

次に、変数があります

Z_{n} = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} X_{i}, E (Z_{n}) \equiv μ_{n}

$Z_n= \sum_{i=1}^nW_iX_i, \qquad E(Z_n) \equiv \mu_n$

確率に興味があります

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ), ϵ < 1 - μ_{n}

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon), \qquad \epsilon < 1-\mu_n$

他の多くの不等式については、Hoeffdingはおよび

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) = E [1_{{Z_{n} - μ_{n} - ϵ \geq 0}}]

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) = E\left[\mathbf 1_{\{Z_n-\mu_n -\epsilon \geq 0\}}\right]$

1_{{Z_{n} - μ_{n} - ϵ \geq 0}} \leq \exp {h (Z_{n} - μ_{n} - ϵ)}, h > 0

$\mathbf 1_{\{Z_n-\mu_n -\epsilon\geq 0\}} \leq \exp\Big\{h(Z_n-\mu_n -\epsilon)\Big\}, \qquad h>0$

従属変数の場合、Hoeffdingとして、という事実を使用して、（凸）指数関数に対するジェンセンの不等式を呼び出して、 $\sum_{i=1}^nW_i=1$

e^{h Z_{n}} = \exp {h (\sum_{i = 1}^{n} W_{i} X_{i})} \leq \sum_{i = 1}^{n} W_{i} e^{h X_{i}}

$e^{hZ_n} = \exp\left\{h\left(\sum_{i=1}^nW_iX_i\right)\right\} \leq \sum_{i=1}^nW_ie^{hX_i}$

および結果をリンクして

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) \leq e^{- h (μ_{n} + ϵ)} E [\sum_{i = 1}^{n} W_{i} e^{h X_{i}}]

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) \leq e^{-h(\mu_n+\epsilon)}E\left[\sum_{i=1}^nW_ie^{hX_i}\right]$

ケースに注目すると、とは独立しているため、期待値を分離できます。 $W_i$ $X_i$

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) \leq e^{- h (μ_{n} + ϵ)} \sum_{i = 1}^{n} E (W_{i}) E (e^{h X_{i}})

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) \leq e^{-h(\mu_n+\epsilon)}\sum_{i=1}^nE(W_i)E\left(e^{hX_i}\right)$

この場合、はパラメーター持つ Bernoullisであり、は共通モーメント生成関数、。そう $X_i$ $\theta$ $E[e^{hX_i}]$ $h$ $E[e^{hX_i}] = 1-\theta +\theta e^h$

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) \leq e^{- h (μ_{n} + ϵ)} (1 - θ + θ e^{h}) \sum_{i = 1}^{n} E (W_{i})

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) \leq e^{-h(\mu_n+\epsilon)}(1-\theta +\theta e^h)\sum_{i=1}^nE(W_i)$

に関してRHSを最小化すると、 $h$

e^{h^{*}} = \frac{(1 - θ) (μ_{n} + ϵ)}{θ (1 - μ_{n} - ϵ)}

$e^{h^*} = \frac {(1-\theta)(\mu_n+\epsilon)}{\theta(1-\mu_n-\epsilon)}$

それを不平等に接続し、取得する操作

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) \leq {(\frac{θ}{μ_{n} + ϵ})}^{μ_{n} + ϵ} \cdot {(\frac{1 - θ}{1 - μ_{n} - ϵ})}^{1 - μ_{n} - ϵ} \sum_{i = 1}^{n} E (W_{i})

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) \leq \left(\frac {\theta}{\mu_n+\epsilon}\right)^{\mu_n+\epsilon}\cdot \left(\frac {1-\theta}{1-\mu_n-\epsilon}\right)^{1-\mu_n-\epsilon}\sum_{i=1}^nE(W_i)$

ながら

P r (Z_{n} \geq θ + ϵ) \leq {(\frac{θ}{θ + ϵ})}^{θ + ϵ} \cdot {(\frac{1 - θ}{1 - θ - ϵ})}^{1 - θ - ϵ} \sum_{i = 1}^{n} E (W_{i})

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \theta +\epsilon) \leq \left(\frac {\theta}{\theta+\epsilon}\right)^{\theta+\epsilon}\cdot \left(\frac {1-\theta}{1-\theta-\epsilon}\right)^{1-\theta-\epsilon}\sum_{i=1}^nE(W_i)$

Hoeffdingは

{(\frac{θ}{θ + ϵ})}^{θ + ϵ} \cdot {(\frac{1 - θ}{1 - θ - ϵ})}^{1 - θ - ϵ} \leq e^{- 2 ϵ^{2}}

$\left(\frac {\theta}{\theta+\epsilon}\right)^{\theta+\epsilon}\cdot \left(\frac {1-\theta}{1-\theta-\epsilon}\right)^{1-\theta-\epsilon} \leq e^{-2\epsilon^2}$

OPの礼儀（ありがとう、私は少し疲れ果てていました...）

\sum_{i = 1}^{n} E (W_{i}) = 1 - 1 / 2^{n}

$\sum_{i=1}^n E(W_i) =1-1/2^n$

したがって、最後に、「従属変数アプローチ」により、

P r (Z_{n} \geq θ + ϵ) \leq (1 - \frac{1}{2^{n}}) e^{- 2 ϵ^{2}} \equiv B_{D}

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \theta +\epsilon) \leq (1-\frac 1{2^n})e^{-2\epsilon^2} \equiv B_D$

これを、「独立」変換基づくCardinalの限界と比較してみましょう。より緊密になるためには、次のものが必要です。 $B_I$

B_{D} = (1 - \frac{1}{2^{n}}) e^{- 2 ϵ^{2}} \leq e^{- n ϵ^{2} / 2} = B_{I}

$B_D=(1-\frac 1{2^n})e^{-2\epsilon^2} \leq e^{-n\epsilon^2/2}=B_I$

\Rightarrow \frac{2^{n} - 1}{2^{n}} \leq \exp {(\frac{4 - n}{2}) ϵ^{2}}

$\Rightarrow \frac {2^n-1}{2^n} \leq \exp\left\{\left(\frac {4-n}{2}\right)\epsilon^2\right\}$

したがって、にはます。以下のため、かなり早くよりタイトになっが、非常に小さいためでも、この小さな「ウィンドウ」は急速にゼロに収束ながら、。たとえば、場合、場合、はより厳密になります。したがって、全体として、Cardinalのバウンドはより便利です。 $n\leq 4$ $B_D \leq B_I$ $n \geq 5$ $B_I$ $B_D$ $\epsilon$ $n=12$ $\epsilon \geq 0.008$ $B_I$

コメント
Hoeffdingの元の論文に関する誤解を招く印象を避けるために、Hoeffdingは従属確率変数の決定論的な凸の組み合わせの場合を調べていることに言及する必要があります。具体的には、彼のはランダム変数ではなく数値であり、各は独立したランダム変数の合計ですが、の間に依存関係が存在する場合があります。その後、彼はこの方法で表現できるさまざまな「U統計」を検討します。 $W_i$ $X_i$ $X_i$

— アレコスパパドプロス
ソース

アレコス：（私の答えの最後にある派生を見てください）。あなたの限界は、枢機inalのように指数関数的に減衰しません。

E [W_{1}] = (1 - 1 / 2^{n}) / n

$\mathrm{E}[W_1]=(1-1/2^n)/n$

n

$n$

— 禅14年

@Zen Indeed（実際には、制限されていますが、サンプルサイズとともに増加します）、そのため、Cardinalのバインドはほとんどのサンプルサイズでより便利です。

— アレコスパパドプロス14年