過去のコインフリップの結果が後続のコインフリップに関する信念に影響を与える統計的誤acyの名前は何ですか？

私たちが知っているように、尾を振るのと同じ確率で頭を着陸させるコインをフリップした場合、コインを何度も裏返すと、半分の時間が頭を獲得し、半分の時間が尾を獲得します。

友人とこれを議論するとき、彼らはあなたがコインを1000回ひっくり返して、最初に100回頭に着いたと言ったら、尾を着陸させる機会が増えたと言いました（論理が偏っていない場合、その後、1000回フリップした時点で、約500のヘッドと500のテールが得られるため、テールが発生する可能性が高くなります。

過去の結果は将来の結果に影響を与えないため、誤解であることを知っています。その特定の誤acyの名前はありますか？また、なぜこれが間違っているのかについてのより良い説明はありますか？

ギャンブラーの誤acyと呼ばれます。

この質問の最初の文には、別の（関連する）誤fallが組み込まれています。

「私たちが知っているように、尾を振るのと同じ確率でコインを投げた場合、コインを何度も投げた場合、半分の時間が頭を獲得し、半分の時間が尾を獲得します。」

いいえ、私たちはそれを取得できません。半分の時間で頭を取得し、半分の時間で尾を取得しません。それを取得する場合、ギャンブラーは結局それほど誤解されないでしょう。この口頭の声明の数学的な表現は次のとおりです。いくつかの「大きい」（ただし有限）に対して、n h = n $n'$、明らかにnhはコインが頭に着地した回数を示します。以来、N'次いで、有限であるN'+1も有限とは異なる値であるN'。では、n′+1のフリップが行われた後はどうなりますか？それは頭に着陸したかどうか。どちらの場合でも、nhは「トスの半分」に等しくなるのをやめました。$n_{h} = \frac {n'}{2}$$n_{h}$$n'$$n'+1$$n'$$n'+1$$n_h$

しかし、おそらく私たちが本当に意味したのは「想像を絶するほど大きな」でしょうか？それから私達は述べる$n$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2}$$

しかし、ここでは、RHS（「右側」）には、LHS（「左側」）によって無限に渡されたが含まれています。したがって、RHSも無限です。したがって、このステートメントは、コインを無限にトスした場合、コインが頭に着く回数は無限に等しいということです（2による除算は無視できます）。$n$$2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2} = \infty$$

これは本質的に正しいが、役に立たない声明であり、明らかに我々が考えていることではない。

全体として、「総トス」が有限であると見なされるかどうかに関係なく、質問のステートメントは成立しません。

おそらく、私たちは述べる必要があります

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {n_{h}}{n} = \frac 1{2} \;\;?$$

まず、これはに変換「投げの総数にわたってヘッドを着陸の数の比の値になる傾向がある異なるステートメントである、投げの数が無限大になる傾向がある」 - NO「総投げの半分」ここに。また、これは、相対頻度の決定論的限界として、確率が依然として時々認識される方法です。このステートメントの問題は、LHSに不定形式が含まれていることです。分子と分母の両方が無限になります。 $1/2$

うーん、ランダム変数の武器を持ち込もう。ランダム変数は、i番目のトスがヘッドになった場合に値1を、テールになった場合に値0をとるように定義します。次に、 n $X_i$$1$$i$$0$

$$\frac {n_{h}}{n} = \frac 1n \sum_{i=1}^nX_i$$

少なくとも今述べますか

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i = \frac 1{2} \;\;?$$

いいえ。これは決定的な制限です。Xのシーケンスの可能なすべての実現を許可するため、制限が存在することは保証されず、1 / 2に等しいことは言うまでもありません。実際、そのようなステートメントは、シーケンスに対する制約としてのみ見ることができ、トスの独立性を破壊します。$X$$1/2$

私たちが何をできると言う、この平均の和が収束するということである確率に（「弱い」）（大数のベルヌーイ-Weak法）は、$1/2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\text {Pr}\left(\left|\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i-\frac 12 \right|<\varepsilon\right) =1 , \;\;\;\forall \varepsilon >0$$

また、検討中のケースでは、ほぼ確実に（「強く」）収束すること（ボレル-多数の強い法則）

$$\text {Pr}\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i=\frac 12 \right) =1 , \;\;\;$$

しかし、これらは、確率に関するステートメントである確率との間の差に関連したと1 / 2、としない差の限界約N H - N T虚偽によればゼロであるべきである（ -それはありません）。 $n_h/n$$1/2$$n_h-n_t$

確かに、これらの2つのステートメントを実際に理解するには、いくつかの熱心な知的努力が必要です。

この誤acyには多くの名前があります。

1）ギャンブラーの誤fallとしておそらく最もよく知られている

2）「小さな数の法則」とも呼ばれることもあります（こちらも参照）（人口の特性を小さなサンプルに反映させる必要があるという考えに関連しているため）-これは法則との対比からきちんとした名前だと思いますしかし、残念ながら同じ名前がポアソン分布に適用され（また、数学者が別の何かを意味するために使用することもあります）、混乱を招く可能性があります。

3）誤fallを信じる人々の間で、それは「平均の法則」と呼ばれることもあり、特に、結果が「期限」であると主張するために、結果のない実行後に呼び出される傾向がありますが、もちろんそのような短期的ではありません法律が存在します- 最初の不均衡を「補償」するものは何もありません -最初の不一致が解消される唯一の方法は、それ自体が平均1/2である後の値のボリュームによるものです。

公正なコインを繰り返し投げる実験を考えてみましょう。聞かせてヘッドの数であるT iは、の終わりまで観察尾の数であるI番目の試験。i = H i + T iであることに注意してください$H_i$$T_i$$i$$i=H_i+T_i$

興味深いことに、長い目で見れば（つまり）、H $n\to\infty$は確率1に収束します$\frac{H_n}{n}$、E| Hn−Tn| nの増加とともに成長します-実際、無限に成長します。「0に戻す」ことはありません。$\frac{_1}{^2}$$E|H_n-T_n|$$n$

「確率論」を考えていますか？フェアコインのフリップ（またはフェアダイスのロール）は、そのようなコインの以前のフリップに依存しないという意味で、確率的（つまり独立）です。公平な詐欺を仮定すると、コインが100回ひっくり返されて100のヘッドが得られたという事実は、次のフリップが50/50のチャンスであるという事実を変えません。

対照的に、特定のカードを引く可能性は、特定のカードを引く可能性が次のドローでカードを引く可能性を変えるため、交換なしでカードのデッキからカードを引く可能性はありません。確率的です）。

$X_n$$n$$X_n$$N(n/2, \sqrt{n/4})$$X_{1000}$

$P( 469 < X_{1000} < 531) \approx .95$

$X_{100} =100$$Y_{900}$

$P( 469 < X_{1000} < 531 \mid X_{100}=100) = P( 369 < Y_{900} < 431) \approx .1$

$Y_{900}$$N(450, 15)$

したがって、最初の100回の試行で100個のヘッドを観察した後、最初の1000回の試行で500近くの成功を観察する可能性はもはやありません。これは、短期的には初期の不均衡が補償される可能性が低いことを示す具体例です。

$n=1,000,000$

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980) \approx .95$

しかし、最初の100回のトスでの不均衡の影響は、長期的には無視できます。

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980 \mid X_{100} = 100) = P( 498,920 < Y_{999,900} < 500880) \approx .949$

ギャンブラーの誤acyに言及していますが、これは完全に正しいわけではありません。

実際、「仮定された公平なコインを与えられ、与えられた結果のシーケンスを観察すると、コインの初歩的な確率の推定は何であるか」と表現された場合、これはより明らかになります。

確かに、「誤acy」は、問題のさまざまな製品が等しい（想定される）公正なコインにのみ関連しています。ただし、これには、別の（非対称/偏りのある）確率分布を持つコインを使用した同様のケース（の研究）とは対照的な解釈が必要です。

これについてのさらなる議論（および少しのねじれ）については、この質問を参照してください。

これは、相関が因果関係を意味する多くの統計研究で使用されている誤りとまったく同じです。しかし、それは因果関係または一般的な原因のヒントになる可能性があります。

頭や尾が大量に並んでいる場合は、コインが公平であるという以前の仮定を再検討する方が良いことに注意してください。