この質問の最初の文には、別の(関連する)誤fallが組み込まれています。
「私たちが知っているように、尾を振るのと同じ確率でコインを投げた場合、コインを何度も投げた場合、半分の時間が頭を獲得し、半分の時間が尾を獲得します。」
いいえ、私たちはそれを取得できません。半分の時間で頭を取得し、半分の時間で尾を取得しません。それを取得する場合、ギャンブラーは結局それほど誤解されないでしょう。この口頭の声明の数学的な表現は次のとおりです。いくつかの「大きい」(ただし有限)に対して、n h = n ′n′、明らかにnhはコインが頭に着地した回数を示します。以来、N'次いで、有限であるN'+1も有限とは異なる値であるN'。では、n′+1のフリップが行われた後はどうなりますか?それは頭に着陸したかどうか。どちらの場合でも、nhは「トスの半分」に等しくなるのをやめました。nh= n′2nhn′n′+ 1n′n′+ 1nh
しかし、おそらく私たちが本当に意味したのは「想像を絶するほど大きな」でしょうか?それから私達は述べるn
リムn → ∞nh= n2
しかし、ここでは、RHS(「右側」)には、LHS(「左側」)によって無限に渡されたが含まれています。したがって、RHSも無限です。したがって、このステートメントは、コインを無限にトスした場合、コインが頭に着く回数は無限に等しいということです(2による除算は無視できます)。n2
リムn → ∞nh= n2= ∞
これは本質的に正しいが、役に立たない声明であり、明らかに我々が考えていることではない。
全体として、「総トス」が有限であると見なされるかどうかに関係なく、質問のステートメントは成立しません。
おそらく、私たちは述べる必要があります
リムn → ∞nhn= 12?
まず、これはに変換「投げの総数にわたってヘッドを着陸の数の比の値になる傾向がある異なるステートメントである、投げの数が無限大になる傾向がある」 - NO「総投げの半分」ここに。また、これは、相対頻度の決定論的限界として、確率が依然として時々認識される方法です。このステートメントの問題は、LHSに不定形式が含まれていることです。分子と分母の両方が無限になります。 1 / 2
うーん、ランダム変数の武器を持ち込もう。ランダム変数は、i番目のトスがヘッドになった場合に値1を、テールになった場合に値0をとるように定義します。次に、
n hバツ私1私0
nhn= 1n∑i = 1nバツ私
少なくとも今述べますか
リムn → ∞1n∑i = 1nバツ私= 12?
いいえ。これは決定的な制限です。Xのシーケンスの可能なすべての実現を許可するため、制限が存在することは保証されず、1 / 2に等しいことは言うまでもありません。実際、そのようなステートメントは、シーケンスに対する制約としてのみ見ることができ、トスの独立性を破壊します。バツ1 / 2
私たちが何をできると言う、この平均の和が収束するということである確率に(「弱い」)(大数のベルヌーイ-Weak法)は、1 / 2
リムn → ∞Pr (∣∣∣1n∑i = 1nバツ私− 12∣∣∣< ε ) = 1 、∀ ε > 0
また、検討中のケースでは、ほぼ確実に(「強く」)収束すること(ボレル-多数の強い法則)
Pr (limn → ∞1n∑i = 1nバツ私= 12) =1、
しかし、これらは、確率に関するステートメントである確率との間の差に関連したと1 / 2、としない差の限界約N H - N T虚偽によればゼロであるべきである( -それはありません)。 nh/ n1 / 2nh− nt
確かに、これらの2つのステートメントを実際に理解するには、いくつかの熱心な知的努力が必要です。