これは、本から出てくる宿題の問題だと言うことから始めます。数時間かけて期待値を見つける方法を調べましたが、何もわからないと判断しました。

LET CDF有する。 検索のそれらの値のためのれる存在します。$X$$F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$
$E(X)$$\alpha$$E(X)$

これを開始する方法すらわかりません。値が存在するかをどのように判断できますか？また、CDFをどうするかわかりません（これは累積分布関数を意味すると仮定しています）。周波数関数または密度関数がある場合に期待値を見つけるための公式があります。ウィキペディアによると、のCDFは、確率密度関数に関して次のように定義できます。$\alpha$$X$$f$

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

これは私が得た限りです。ここからどこに行きますか？

編集：私はを置くでした。$x\ge1$

potentialislogicからのコメント用に編集

この場合、であるため、分布はよりも小さい確率になるため、となり、cdfを増やすにはも必要になります。$F(1)=0$$0$$1$$x \ge 1$$\alpha > 0$

cdfがある場合は、このような連続分布を持つ反積分または微分が必要です。

$$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$

そして逆にのための。、X ≥ $F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$$x \ge 1$

次に、あなたが見つける必要がある期待を見つけるために

$$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$$

これが存在する場合。微積分はあなたにお任せします。

密度関数の使用は必要ありません

1からCDFを引いた値を積分します

負でないサポートを持つランダム変数がある場合（つまり、変数の密度/確率が正の値に対してのみゼロでない場合）、次のプロパティを使用できます。$X$

$$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$$

同様の特性は、離散確率変数の場合に適用されます。

証明

以来、、$1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

$$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$$

次に、統合の順序を変更します。

$$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$$

がダミー変数であることを認識するか、単純な置換および。t = x d t = d$t$$t=x$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

$$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$$

帰属

WikipediaのExpected value記事の特別な場合の数式セクションを使用して、証明の記憶を更新しました。そのセクションには、離散確率変数の場合と密度関数が存在しない場合の証明も含まれています。

結果は、Xの番目のモーメントにも拡張されます。これがグラフィカルな表現です。 $k$$X$

私はあなたが実際に平均だと思うそうCDFは、空虚であるとして、F （1 ）= 1 - 1 - α = 1 - 1 = 0。$x\geq 1$$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

CDFについて「知っている」のは、引数が無制限に減少するにつれて最終的にゼロに近づき、最終的にx → ∞として1に近づくということです。それらはまた、非減少であり、この手段ので、0 ≤ F （Y ）≤ F （X ）≤ 1はすべてのためのy ≤ X。$x$$x \to \infty$$0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$$y\leq x$

したがって、CDFをプラグインすると、次のようになります。

$$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$$

このことから、我々はそのためのサポート結論 IS X ≥ 1。今、私たちはまた、必要にLIM のx → ∞ F （X ）= 1を意味している$x$$x\geq 1$$\lim_{x\to\infty} F(x)=1$$\alpha>0$

期待値が存在する値を計算するには、次が必要です。

$$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$$

そしてのためにすることを、この最後の式が示す存在するために、我々は持っている必要があります、順番に意味。これは、番目の生のモーメントが存在するの値を決定するために簡単に拡張できます。- α < - 1 α > 1 α R E （X 、R$E(X)$$-\alpha<-1$$\alpha>1$$\alpha$$r$$E(X^{r})$

順序の変更を必要とする回答は不必要にarilyいです。これは、よりエレガントな2行の証明です。

$\int udv = uv - \int vdu$

$du = dx$$v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$