尤度比検定の規則性条件は何ですか

尤度比検定の漸近分布の規則性条件は何か教えてもらえますか？

私が見ているところはどこでも、「規則性の下」または「確率的規則性の下」と書かれています。正確な条件は何ですか？最初と2番目の対数尤度導関数が存在し、情報行列がゼロでないことそれとも完全に別のものですか？

maximum-likelihood likelihood-ratio asymptotics

— キングスタット
ソース

必要な規則性の条件は、ほとんどの中間教科書に記載されており、ルールのそれと同じです。以下は、1つのパラメーターのケースに関するものですが、マルチパラメーターのケースへの拡張は簡単です。

条件1：PDFは明確です。つまり、 $\theta \neq \theta ^{\prime} \Rightarrow f(x_i;\theta)\neq f(x_i;\theta ^{\prime})$

この条件は基本的に、パラメーターがPDFを識別することを示していることに注意してください。

条件2： PDFはすべての共通のサポートを持っています $\theta$

これが意味することは、サポートが依存しないことです $\theta$

条件3：ポイント、つまり実際のパラメーターは、あるセット内部ポイントです。 $\theta_0$ $\Omega$

最後の1つは、インターバルのエンドポイントにが現れる可能性に関するものです。 $\theta$

これら3つは、真のパラメーターで尤度が最大化され、方程式を解くmleことを保証します。 $\theta_0$ $\hat{\theta}$

\frac{\partial l (θ)}{\partial θ} = 0

$\frac{\partial l(\theta)} {\partial \theta}=0$

一貫しています。

条件4：pdfは関数として2微分可能 $f(x;\theta)$ $\theta$

条件5：積分は、積分記号の下で関数として2回できます $\int_{-\infty}^{\infty} f(x;\theta)\ \mathrm dx$ $\theta$

最後の2つは、MLの収束の理論において中心的な役割を果たすフィッシャー情報を導出するために必要です。

一部の著者にとってはこれらで十分ですが、徹底する場合は、mlの漸近正規性を保証する最終条件がさらに必要です。

条件6：pdfは、関数として3倍微分可能です。さらに、すべてのについて、次のような定数と関数が存在します。 $f(x;\theta)$ $\theta$ $\theta \in \Omega$ $c$ $M(x)$

| \frac{\partial^{3} l o g f (x; θ)}{\partial θ^{3}} | \leq M (x)

$\left| \frac{\partial^3 log f(x;\theta)}{\partial \theta^3} \right| \leq M(x)$

すべてについて及び全てのサポートにおける $E_{\theta_0} \left[M(X)\right] <\infty$ $|\theta-\theta_0|<c$ $x$ $X$

本質的に最後の条件は、に関する2次のテイラー展開の残りが確率で制限され、したがって漸近的に問題をないと結論付けることを可能にします。 $\theta_0$

それはあなたが考えていたものですか？

— ジョンK
ソース

ありがとう。しかし、-2log（lambda）がdf 1のカイ二乗に従うという証明に関連する規則性条件が同じであることを確信していますか？

— Kingstat 2014年

@Kingstatはい。これらの条件は、HoggとCraigの「数学統計入門」から来ており、下で、つまり、

H_{0}

$H_0$

θ = θ_{0}

$\theta=\theta_0$

- 2 \log Λ \to^{D} χ^{2} (1)

$-2\log\Lambda \to^D \chi^2 (1)$

— JohnK

N（θ、1）密度の場合、RaoのスコアテストはUMPUテストとどのように同等ですか。

— Kingstat 2014年

@Kingstat UMPUは何の略ですか。

— JohnK、2014年

均一で最も強力な不偏。

— Kingstat 2014年