ベイズの定理の誤用の例

このMath Overflowコミュニティの質問は、「非数学的な文脈における数学の定理の適用を含む悪い議論の例」を尋ね、病理学的に適用された数学の興味深いリストを作成しました。

ベイジアン推論の病理学的使用の同様の例について疑問に思っています。誰でも、ベイジアン手法を気まぐれに使用する学術記事、風変わりなブログ投稿に遭遇しました。

bayesian

— Chris Brent
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うん。私は最近、統計コンサルタントとして雇われ、ベイズの定理を使用した編集者への手紙の中で著者が自分の見た目をさらに悪化させた特定の（かなりひどい）記事を精査しました。彼らは記事からの誤って計算された正の予測値から始めました（PPV = 95％と思われます）。彼らは基本的に、Ricci ^_（2004）によるこれについての重要な手紙を無視しました。その後、彼らは生物統計の教科書^{_{（Elston＆Johnson、1994）}}を見つけ、それを誤って引用した。私たちはその本を購入してチェックしましたが、振り返ってみると、これは私が思っていたのと同じくらい不必要でした。この混乱の負荷を取得します（Barsnessらの編集者への返信レターから）：

$P = \frac{P （ S / D_{1} ）}{P （ S / D_{1} ） + P （ S / D_{2} ）}$ $\rm P=\frac{P(S/D_1)}{P(S/D_1)+P(S/D_2)}$ $[p = 95/(95 + 1.6)]$ 98.3％です。前述の低いPPV計算である82.3パーセントを使用すると、真のイベントの確率は98.1パーセントになります。

ここで奇妙 な一貫性のある何かを見ますか？きっと…

Elston and Johnson ^_（1994）が血友病遺伝の例にそれを適用するとき、これはベイズの定理です。

$P （ D_{1} | S ） = \frac{P （ D_{1} ） P （ S | D_{1} ）}{P （ D_{1} ） P （ S | D_{1} ） + P （ D_{2} ） P （ S | D_{2} ）}$ $\rm P(D_1|S)=\frac{P(D_1)P(S|D_1)}{P(D_1)P(S|D_1)+P(D_2)P(S|D_2)}$

矛盾は自明ですが、例の議論からの引用は次のとおりです。

影響を受けていない息子が1人いるという事実は、彼女が血友病遺伝子を受け継いでいる可能性を減らし、したがって次男が影響を受ける可能性が低くなります。

Barsnessと同僚たちが低い有病率が PPVを強化するという考えを得たとき、私は知りませんが、彼らは確かに彼ら自身の選択した教科書に注意を払っていませんでした。
$p_{1} = 95 / （ 95 + 1.6 ） = 98.3 \to p_{2} = 98.3 / （ 98.3 + 1.6 ） = 98.4 \to \dots$ $p_1 = 95/(95 + 1.6)=98.3\rightarrow p_2 = 98.3/(98.3 + 1.6)=98.4\rightarrow\dots$ $\lim_{k\rightarrow\infty} p_k(p_{k-1},1.6)$
それらの有病率情報とトピックに関する他の研究からの感度と特異度のいくつかの合理的な推定を使用すると、PPVははるかに低くなります（3％程度）。面白いことに、ケースを強化するためにベイズの定理を使用していなければ、私はベイズの定理を使用することすら考えていなかったでしょう。有病率が1.6％であることを考えると、この方法ではうまくいきません。

^{参考文献

・ Barsness、KA、Cha、ES、Bensard、DD、Calkins、CM、Partrick、DA、Karrer、FM、＆Strain、JD（2003）。子供の偶発的外傷の指標としての肋骨骨折の陽性予測値。Journal of Trauma-Injury、Infection、and Critical Care、54（6）、1107–1110。

・ Elston、RC、およびJohnson、WD（1994）。生物統計学の要点（第2版）。フィラデルフィア：FA Davis Company。

・リッチ、LR（2004）。編集者への手紙。Journal of Trauma-Injury、Infection、and and Critical Care、56（3）、721。}

— ニック・スタウナー
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