エラーのあるデータに最適な線形回帰モデル

独立変数（x）に一定の測定誤差があり、従属変数（y）に信号依存誤差があるデータに最適な線形回帰アルゴリズムを探しています。

ここに画像の説明を入力してください

上の画像は私の質問を示しています。

定数変数xに一定の測定エラーがあり、エラーが変数の相対的な重み付けにのみ使用されている場合、この状況はxにエラーがないことと同等ではありませんか？

— ペドロフィゲイラ2014年

エラーので、そうではない@pedro単に式における重みありません。変数内エラー回帰では、近似が異なり、パラメーターの共分散推定が通常の回帰と異なります。

x

$x$

— whuber

説明していただきありがとうございます。なぜそうなのか、少し詳しく説明してください。

— ペドロフィゲイラ2014年

従属変数の測定エラー

一般的な線形モデルが homosckedasticであり、独立変数と自己相関および非相関ではない場合、は「真の」変数を表し、その観察可能な尺度。測定誤差は、それらの差として定義されるしたがって、見積モデルである：以来あります観察された場合、OLSによってモデルを推定できます。の測定誤差が各説明変数から統計的に独立している場合、

\begin{matrix} (1) & y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+\varepsilon\tag{1}$

ε

$\varepsilon$

y^{*}

$y^*$

y

$y$

e = y - y^{*}

$e=y-y^*$

\begin{matrix} (2) & y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + e + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+e+\varepsilon\tag{2}$

y, x_{1}, \dots, x_{k}

$y,x_1,\dots,x_k$

y

$y$

(e + ε)

$(e+\varepsilon)$ と同じプロパティを共有し、通常のOLS推論手順（統計など）が有効です。ただし、あなたのケースでは、分散が増えることを期待しています。あなたは使うことができます：

ε

$\varepsilon$

t

$t$

e

$e$

重み付き最小二乗推定量（例：Kutner et al。、§11.1; Verbeek、§4.3.1-3）;
OLS推定量。これは、まだ偏りがなく一貫しており、不均一性が一貫した標準エラー、または単にWite標準エラー（Verbeek、§4.3.4）です。

独立変数の測定誤差

上記と同じ線形モデルをとして、は「真」の値を示し、その観測可能な測定値を示します。測定エラーは次のとおりです 2つの主な状況があります（Wooldridge、§4.4.2）。 $x_k^*$ $x_k$

e_{k} = x_{k} - x_{k}^{*}

$e_k=x_k-x_k^*$

$\text{Cov}(x_k,e_k)=0$ ：測定誤差は観測された測定値と相関がないため、観測されていない変数と相関させる必要があります。書き込み及び（1）には、この目封止：以来及びの両方各々と無相関である含む、、測定だけエラーの分散を増やし、OLSの仮定に違反しません。 $x^*_k$ $x_k^*=x_k-e_k$
$y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + (ε - β_{k} e_{k})$ $y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+(\varepsilon-\beta_ke_k)$ $\varepsilon$ $e$ $x_j$ $x_k$
$\text{Cov}(x^*_k,\eta_k)=0$ ：測定誤差は、観測されていない変数とは無相関であるため、観測された測度と相関させる必要があります。このような相関関係は問題を引き起こし、でののOLS回帰は一般に偏りがあり、一貫性のない推定量を与えます。 $x_k$ $y$ $x_1,\dots,x_k$

プロット（独立変数の「真の」値を中心としたエラー）を見て推測できる限り、最初のシナリオが当てはまります。

— セルジオ
ソース