逆ウィシャート分布行列の対角線の周辺分布

仮定。対角要素の周辺分布に興味があります。の部分行列の分布に関するいくつかの簡単な結果があります（少なくとも一部はウィキペディアにリストされています）。これから、対角線上の任意の単一要素の周辺分布は逆ガンマであることがわかります。しかし、私は共同分布を推測することができませんでした。 $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

多分それは次のような構成によって導き出せると思った

p （ {バツ}_{11} | {バツ}_{私 私} 、 私 > 1 ） p （ {バツ}_{22} | {バツ}_{私 私} 、 私 > 2 ） \dots p （ {バツ}_{（ p - 1 ） （ p - 1 ）} | {バツ}_{p p} ） p （ {バツ}_{p p} ） 、

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

しかし、私はそれをどこにも持ってこなかったし、さらに何か簡単なものを見逃していると疑っています。この「知られている」べきであるように思えますが、私はそれを見つけることができませんでした。

distributions probability pdf

— JMS
ソース

BilodeauとBrennerの命題7.9（pdfはウェブ上で無料で入手できます）は、Wishartに有望な結果をもたらします（おそらく逆Wishartに引き継がれます）。場合パーティションとしてブロック内、次いでであるように、ウィシャートある、そしてそれらは独立しています。

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

— みすぼらしいシェフ

この命題は、マトリックス全体を知っている場合にのみ適用されます。対角線のみを取得している場合、たとえば知らないため、変換を実行できません。

X_{12}

$X_{12}$

— -petrelharp

一般的に、共分散行列は、に、分散相関分解に分解できここで、は単位対角の相関行列です。したがって、対角要素は、分散対角行列の一部になります。分散行列の非対角要素はゼロであるため、探している結合分布は各対角要素の周辺分布の積になります。

Σ = 診断 （ Σ ） Q 診断 （ Σ ）^{⊤} = D Q D^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

ここで、次元共分散行列の標準的な逆ウィシャートモデルについて考えます。 $d$ $\Sigma$

Σ 〜 私 W （ ν + d - 1 、 2 ν Λ ） 、 ν > d - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

対角要素は、 $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{私 私} 〜 inv- χ^{2} （ ν + d - 1 、 \frac{λ_{私 私}}{ν - d + 1} ）

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

異なる分散相関分布に分解する共分散行列のさまざまな事前分布を備えた優れた参照をここに示します

— user3303
ソース